Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

М и с о л :  




2
2
3
2
1
)
x
x
(
dx
)
x
(
 интегрални хисобланг. 
Ечими:




2
2
3
2
1
)
x
x
(
dx
)
x
(
=          
=














2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
1
)
x
x
(
dx
)
x
x
(
dx
)
х
(
dx
)
х
х
(
)
х
(
= 
=-







2
2
2
3
2
2
3
2
1
2
1
)
x
x
(
dx
)
х
х
(
-
.
I
)
x
x
(
2
2
2
3
2
1
2
1



    
(



)
 
 
2
I
   интегрални хисоблаймиз: 
             
2
I
 =








2
2
2
2
2
1
3
2
)
)
x
((
dx
)
x
x
(
dx










dt
dx
t
x 1
 
                    
                  












2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
t
dt
dt
)
t
(
t
t
)
t
(
dt
 
                   







2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
)
t
(
dt
t
t
arctg
)
t
(
dt
t
 
 
Охирги интегрални караймиз: 
                 











)
t
(
td
)
t
(
)
t
(
td
)
t
(
dt
t
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
               =

























2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
t
dt
t
t
t
v
,
dt
du
)
t
(
d
dv
,
t
u
 
       
C
x
arctg
x
x
x
C
t
arctg
t
t














2
1
2
1
)
3
2
(
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
 
Демак 

              
C
x
arctg
)
x
x
(
x
x
arctg
I
















2
1
2
2
1
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
         
булади. 
 
2
I
 интеграл кийматини (***) тенгликка куйсак, берилган интегралнинг киймати келиб 
чикади : 
                 












C
x
arctg
)
x
x
(
x
)
x
x
(
dx
)
x
(
2
1
4
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Квадрат учхад катнашган   
2
2
1
1
,
,
,
I
I
I
I
 интегралларни келтиринг. 
2. 
1
I
 ва 
2
I
 интегралларнинг ечилиши тартибини келтиринг. 
3.Энг содда рационал каср деб кайси касрларга айтилади? 
4.Энг содда рационил касрларни интеграллаш тартибини келтиринг. 
 
 
 
 
 
4– М А Ъ Р У З А 
 
РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ  КАСРЛАРГА АЖРАТИШ. 
РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. 
 
Таянч  иборалар:   
  Рационал  каср,  даражали  купхад,  тугри 
рационал каср, нотугри  рационал каср. 
 
а) Рационал касрларни энг содда рационал касрларга 
ажратиш. 
 
 
               Маълумки , 
                     P
n
(x)=a
0
x
n
 + a
1
x
n-1
 + a
2
x
n-2
 +… a
n-1
x + a
0
x
n
 + a
n
  
функция даражали купхад дейилади, бунда a
0
, a
1
, a
2
,…,   купхаднинг коэффициентлари,  n  
эса даража курсатгичи. 
ТАЪРИФ:   Икки  купхад нисбати рационал каср дейилади. 
                   
     
n
n
n
n
m
m
m
m
n
m
a
x
a
x
a
x
a
в
x
в
х
в
х
в
x
P
x
Q
x
R














1
1
1
0
1
1
1
0
...
...
)
(
)
(
)
(
 
Агар  m
n  булса, у холда  рационал каср 
нотугри каср деб айтилади. 
R(x) рационал каср нотугри булган холларда касрнинг Q(x) суратини   
Р
n
(x)  махражига булиш йули билан унинг бутун кисмини ажратиш керак: 

                                     
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
P
x
r
x
q
x
P
x
Q
n
n
m


                 
      
Бу  ерда   
)
(
)
(
x
P
x
r
n
    тугри  каср,чунки    r(x)  колдикнинг  даражаси    Р
n
(x)  нинг  даражасидан 
кичик. 
М и с о л :   Ушбу 
                                   
2
1
3
2
)
(
2
3
4





x
x
x
x
x
R
 
нотугри рационал касрнинг бутун кисмини ажратинг. 
Ечими: 
            
2
3
4
3
4
4
2
2
1
3
2
х
х
х
х
х




                       х 
2
 + х –2 
                    -5х 
3 
+ 4х 
2 
+ 1                    2х 
2
 – 5х + 9  
                     5х 
3 
- 5х 
2 
+ 10х 
                            9х 
2 
- 10х +1 
                        -  9х 
2 
+ 9х -18 
                                  -19х +19 
Демак, 
                       
2
19
19
9
5
2
2
1
3
2
2
2
2
3
4












х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
Ушбу              
)
(
)
(
)
(
x
P
x
Q
x
R
n
m

                
 
тугри рационал касрни караб чикамиз, бу касрнинг  Р
n
(x) махражи 
                                  
s
к
q
рх
х
х
)
(
,
)
(
2




 
куринишдаги  чизикли  ва  квадратик  купайтувчиларга  ёйилади,  бунда  (х-

)
к
  куринишдаги 
купайтувчи      к    каррали  хакикий  илдизга  мос  келади, 
s
q
px
х
)
(
2


  куринишдаги 
купайтувчи   s  карралидаги комплекс кушма илдизларга мос келади: 














1
2
1
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
0
s
k
r
k
k
n
q
x
p
x
x
x
x
a
x
P
r
 
             
.
)
(
...
)
(
2
2
2
2
2
l
s
l
l
s
q
x
p
x
q
x
p
x







                                 
(А) 
 
ТЕОРЕМА:       Хар кандай    
)
(
)
(
)
(
x
P
x
Q
x
R
n
m

   рационал касрни, 
бунда 
)
(x
P
n
      (А)  формула  буйича    купайтувчиларга 
ажратилган, 
,
)
(
,
k
х
А
х
А




 
(k

2 
ва 
бутун), 
,
)
(
,
2
2
s
q
px
x
B
Ax
q
px
x
B
Ax






  (s

2  ва  бутун)  турдаги    оддий 
касрларнинг йигиндиси куринишида ифодалаш мумкин. Бунда:  

1)  (А)    ёйилманинг  (х-

)  куринишдаги  купайтувчисига  битта 


х
А
 каср мос келади; 
2) (А) ёйилманинг (х-

)
к
 куринишдаги купайтувчисига   
                              
,
)
(
...
)
(
)
(
1
2
1










x
A
x
A
x
A
k
k
k
 
 касрлар йигиндиси мос келади; 
3) (А)  ёйилманинг х
2
+px+q куринишдаги купайтувчисига битта 
q
px
x
B
Ax



2
 каср мос келади; 
4) (А) ёйилманинг (х
2
-+px+q)
s
 куринишдаги купайтувчисига   
                 
)
(
...
)
(
)
(
2
1
2
2
2
2
1
1
q
px
x
B
x
A
q
px
x
B
x
A
q
px
x
B
x
A
s
s
s
s













 
 касрлар йигиндиси мос келади; 
 Бу теоремани исботсиз кабул киламиз. 
       Юкорида  курсатилган  рационал  касрнинг  оддий  касрлар  йигиндиси  ёйилмасидаги 
,...
,
,...,
,
,
,
2
1
2
1
B
B
A
A
B
А
 
коэффициентларни  аниклаш  учун  турли  усуллар 
мавжуд. Улардан биттаси ноъмалум коэффициентлар усулидир. Уни мисолда курамиз. 
М и с о л :Ушбу       
                                  
3
2
)
(
3



x
x
x
R
 
рационал касрн оддий касрлар йигиндисига ажратинг. 
Ечими: Махражни купайтувчиларга ажратамиз: 
                       
)
1
)(
1
(
)
1
(
2
3






x
x
x
x
x
x
x
 
Келтирилган    теоремага  асосан    берилган  касрни  оддий 
касрларга ажратиш бундай куринишда булиши мумкин: 
                           
1
1
2
3







x
D
x
B
x
A
x
x
x
  
А,В,D    номаълум  коэффициентларни  топишга  киришамиз.  Бунинг  учун  охирги 
тенгликнинг  унг  кисмини  умумий  махражга  келтирамиз  ва  хосил  килинган  тенгликнинг 
иккала  кисмида  махражни  ташлаб  юборамиз.  Бу  амаллар  натижасида  куйидаги  айният 
келиб чикади : 
                    
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
2








x
Dx
х
Вх
х
х
А
х
 , 
                    
A
x
D
B
x
D
В
А
х







)
(
)
(
2
2
 
Купхадларнинг тенглигидан куйидаги А.В.D ларга нисбатан тенгламалар системаси хосил 
киламиз ва илдизларини топамиз: 

                     


























2
1
2
3
2
2
1
0
D
B
A
A
D
B
D
B
A
  
Демак, 
                     
)
1
(
2
1
)
1
(
2
3
2
2
3








x
x
x
x
x
x
 
М и с о л :  Ушбу 
                                 
2
1
2
3




x
x
x
x
 
рационал касрни оддий касрлар йигиндисига ажратинг. 
Ечими:   Берилган рационал касрнинг махражини купайтувчиларга ажратамиз : 
                  
)
1
)(
2
(
1
2
1
2
2
3









х
х
х
х
х
х
х
х
 
Юкорида келтирилган теоремага асосан 
                 
1
2
)
1
)(
2
(
1
2
2










х
х
С
Вх
х
А
х
х
х
х
 
Юкоридаги  мисолдагидай,  бу  тенгликни  хам  унг  кисмини  умумий махражга келтирамиз 
ва  хосил  килинган  тенгликнинг  иккала  кисмидаги  махражларни  ташлаб  юборамиз. 
Натижада куйидаги айният хосил булади: 
                 
С
А
х
С
В
А
х
В
А
х
2
)
2
(
)
(
1
2









 
Купхадларнинг тенглигидан фойдаланиб  А.В.С ларга нисбатан тенгламалар системасини 
тузиб унинг илдизларини топамиз: 
                        



























7
4
7
1
7
1
1
2
1
2
0
С
В
А
С
А
С
В
А
В
А
 
Шундай килиб, рационал каср куйидаги содда рационал касрларга йигиндисига ажралди : 
                    
)
1
(
7
4
)
2
(
7
1
2
1
2
2
3











х
х
х
х
х
х
х
х
 
 
б)  Рационал касрларни интеграллаш. 
 
       Рационал касрни интеграллаш учун куйидагиларни бажариш керак: 
1)  унинг тугри ёки нотугри каср эканлигини текшириб ва акс холда яЪни, нотугри каср 
булганда, олдин унинг бутун кисмини ажратиб, шундан кейин купхад бутун кисми ва 
рационал каср кисмлари йигиндиси куринишида ёзилади; 
2)  Тугри рационал каср оддий рационал касрлар йигиндисига ажратилади; 
3)  Ёйилманинг коэффициентлари топилади; 
4)  Рационал касрнинг интеграли хисобланади. 

  
М и с о л :   Интегрални хисобланг : 
                                     




)
2
)(
1
(
)
3
(
2
x
x
x
dx
х
 
Ечими:  Юкоридаги курсатмаларни бирин-кетин бажариб, куйидагиларни хосил киламиз: 
                          
2
1
)
2
)(
1
(
3
2








x
D
x
B
x
A
x
x
x
x
  , 
                  
A
x
D
B
A
x
D
B
A
x
2
)
2
(
)
(
3
2
2








 , 
                             



























6
7
3
4
2
3
3
2
0
2
1
D
B
A
A
D
B
A
D
B
A
 














2
6
7
1
3
4
2
3
)
2
)(
1
(
)
3
(
2
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
х
.
2
ln
6
7
1
ln
3
4
ln
2
3
c
x
x
x







 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.  Рационал  каср  деб  нимага  айтилади.Тугри  ва  нотугри  рационал 
касрларга таъриф беринг. 
2.  Рационал  касрни  энг  содда  рационал  касрлар  йигиндиси 
куринишида келтириш тартиби нимадан иборат? 
3. Рационал касрларни интеграллаш тартибини келтиринг.