Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

4-bob Hisoblash

4.1 Hosil

Hosil. Differensiallik va differensiallik. Differentsiallanish qoidalari, elementar funksiyalarning hosilalari.

4.1.1 Hosilning ta'rifi. Geometrik talqin. Differensiallikning zaruriy sharti

f ( x ) nuqta x ₀ nuqtaning qandaydir qo'shnisida aniqlansin .
Terminologiya
 x=x - x ₀ – argument oʻsishi.
 y=  f =f ( x ) - f ( x ₀ ) – funksiya o‘sishi.
Ta'rif. X ₀ nuqtadagi hosila nolga moyil bo'lganda, funktsiyaning argument ortishiga o'sishi chegarasi sifatida aniqlanadi.
f  ( x ₀ ) =  =  .
Hosila yozuvi
Leybnits, f  ( x ₀ ) Lagranj,  ( x ) Nyuton, Df ( x ₀ ) Koshi.
Bir tomonlama hosilalar f  ( x ₀ +0) , f  ( x ₀ -0) xuddi shunday aniqlanadi.
f  ( x ₀ +0) =  , f  ( x ₀ - 0) =  .
Teorema. f  ( x ₀ ) hosilasining mavjudligi uchun f  ( x ₀ +0) , f  ( x ₀ - 0) ikkala bir tomonlama hosilalarning mavjudligi va ularning tengligi zarur va yetarlidir.
To'g'ridan-to'g'ri mos keladigan bir tomonlama chegara teoremasidan kelib chiqadi.
Agar f  X to‘plamning hamma joyida mavjud bo‘lsa , u holda hosila funksiya deb ataladigan yangi f  ( x ) funksiyani olamiz .
Ta'rif. X ₀ nuqtaning qo'shnisida aniqlangan f funktsiya x ₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi , agar funktsiyaning o'sishi quyidagicha ifodalanishi mumkin bo'lgan A soni mavjud bo'lsa.
 f \u003d f ( x ) - f ( x ₀ ) \u003d A ( x - x ₀ ) +o ( x - x ₀ ) , x  x ₀
Teorema. f  ( x ₀ ) mavjudligi uchun f ning x ₀ nuqtada differentsiallanishi zarur va yetarli .
Isbot uchun cheksiz kichiklar nuqtai nazaridan chegara mavjudligi mezonidan foydalanish mumkin.
 A  . 
Izoh. A= f  ( x ₀ ) ekanligini unutmang .
Hosilni hisoblash operatsiyasi differensiallash operatsiyasi deyiladi.
Geometrik talqin.  Grafikning x  x ₀ nuqtalarini tutashtiruvchi akkordning chegaraviy pozitsiyasi f ( x ) funksiya grafigiga x ₀ nuqtadagi tangens deyiladi .
 \u003d  arctg  \u003d arctg f  ( x ₀ ).

Guruch. 4.1
Tangensda yotgan ( x,y ) nuqtalar uchun tenglik bajariladi , 
. x ₀ nuqtadagi f ( x ) funksiya grafigiga teginish qiyaligining tangensi , . Shunday qilib, x ₀ nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasi : .     

Guruch. 4.2
Oxirgi tenglikni bir nuqtada differensiallik ta'rifi bilan solishtirish mumkin  .
Tangens gorizontal bo'lmagan nuqtalarda normal  :. Umumiy holatda normal tenglama:  .
Teorema ( Differensiallikning zaruriy sharti ) Agar funktsiya nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsa, u holda u shu nuqtada uzluksizdir.
To'g'ridan-to'g'ri differentsiallik ta'rifidan kelib chiqadi.
Hamma joyda differensiallanuvchi va nolga teng hosiladagi uzilishga ega funksiyaga misol.

Xulosa
Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari