Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

X da aniqlangan f ( x ) funksiya agar X da bir xil uzluksiz deb ataladi
 x  ,x   X,|x  -x  |< : |f ( x  ) -f ( x  ) |< 
To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadiki, X dagi har bir bir xil uzluksiz funksiya ushbu to'plamning istalgan nuqtasida uzluksizdir. Bu erda uzluksizlikning old sharti qondirilgan deb hisoblanadi. Ya'ni, agar  , keyin nuqtaning teshilgan qo'shnisida kamida aniqlanadi , ehtimol bir tomonlama. Qarama-qarshilik odatda to'g'ri emas. Ya'ni,  uzluksiz funksiya bu to'plamda bir xil uzluksiz bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiya  Biroq, teorema haqiqiydir
Teorema (Kantor). [ a,b ] da har bir uzluksiz f funksiya [ a,b ] da bir xil uzluksizdir .
Isbot . Aksincha.
 ₀ >0>0 u,v [ a,b ] ,|uv|< : |f ( u ) - f ( u ) |   ₀ .  = 1/ n  u _n ,v _n ,| uchun u _n -v _n |< 1/ n:
|f ( u _n ) - f ( v _n ) |   ₀ . (1)
Bolzano-Veyrshtass teoremasi bo'yicha  = x ₀ [ a,b ] , u holda u = x ₀ . Funktsiyaning uzluksizligi tufayli,   
. Shunday qilib,
, bu (1) ga zid keladi.
Funktsiyaning bir xil bo'lmagan uzluksizligi uchun etarli shartni keltiramiz.
Teorema. Funktsiya uzluksiz bo'lsin va domendan qandaydir umumiy qiymatga yaqinlashuvchi va shunga o'xshash ikkita ketma-ketlik mavjud . U holda funksiya ustida bir xilda uzluksiz emas .
Isbot . Aniqlik uchun biz buni taxmin qilamiz  . Yagona uzluksizlik inkorini yozamiz:
 ₀ >0>0 u , v  X ,| u - v |< : | f ( u ) - f ( u ) |   ₀ (2)
Oling  va o'zboshimchalik uchun  shunday qilib tanlang
a)  va
b) 
Etarlicha katta k uchun birinchi shartning bajarilishi chegaralarning tengligidan kelib chiqadi  .  Ikkinchi shartga kelsak, u yetarlicha katta sonlar uchun b) shartning bajarilishi quyidagi shartdan olinishi mumkin . Shunday qilib, (2) fikr isbotlangan.
Misol.  -da funksiya bir xil uzluksiz emasligini isbotlash uchun isbotlangan teoremadan foydalanamiz  . Kerakli ketma-ketliklar sifatida  biz ketma-ketliklarni tanlaymiz:  , ya'ni ,  va  shunday tanlaymizki  , ya'ni  ko'rsatilgan ketma-ketliklar teorema shartlarini qanoatlantirsin va kerakli tasdiq isbotlanadi.