Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

E slatma :   Geometrik jihatdan hosila nuqtadagi funktsiya grafigiga teginishning qiyaligidir  .

• 
  Hosilning mexanik ma'nosi:
  

Moddiy nuqtaning harakat yo'li berilgan bo'lsin . Bir vaqtning o'zida berilgan moddiy nuqtaning tezligi vaqt bo'yicha yo'lning hosilasidir :

13.Uzluksizlik va differentsiallik o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi teorema.

Agar funktsiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.
Isbot :
y=f(x) funksiya x0 nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lsin. Keling, bu nuqtada argumentga Dx ortishini beraylik. Funktsiya Dy o'sishini oladi.
K eling, topamiz
Demak, y=f(x) x0 da uzluksizdir.
Natija. Agar x0 funktsiyaning uzilish nuqtasi bo'lsa, u holda funktsiyani differentsiallash mumkin emas.
Teoremaning teskarisi to'g'ri emas. Davomiylik farqlanishni anglatmaydi.
Misol :
y=|x|, x0=0.
Dx>0, ;
Dx<0, .
x0=0 nuqtada funksiya uzluksiz, lekin hosila mavjud emas.

14. Hosilalar bilan arifmetik amallar.

Teorema shuni ko'rsatadiki, agar y = f(x) funksiya [a, b] oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda kamida bitta x ₁ nuqta bo'ladi ? [a, b] shunday bo'lsinki, f(x) funksiyaning shu nuqtadagi qiymati uning ushbu segmentdagi barcha qiymatlaridan eng kattasi bo'ladi: f(x ₁ ) ? f(x). _{Xuddi shunday, x 2} nuqtasi mavjud bo'lib , unda funktsiyaning qiymati segmentdagi barcha qiymatlarning eng kichigi bo'ladi:
f(x ₁ ) ? f(x).
Ko'rinib turibdiki, bir nechta bunday nuqtalar bo'lishi mumkin, masalan, rasmda f(x) funktsiyasi ikkita x 2 _va x ₂ ' nuqtalarida eng kichik qiymatni olishi aniq.
Izoh . Funksiyaning qiymatini (a, b) oraliqda ko‘rib chiqsak, teorema bayoni noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. Haqiqatan ham, agar y = x funktsiyasini (0, 2) deb hisoblasak, u bu oraliqda uzluksiz bo'ladi, lekin undagi maksimal yoki minimal qiymatlarga etib bormaydi: u bu qiymatlarga oxirida etib boradi. oraliqning, lekin uchlari bizning mintaqamizga tegishli emas.
Shuningdek, uzluksiz funksiyalar uchun teorema haqiqiy bo'lishni to'xtatadi. Misol keltiring.
Natija. Agar f(x) funksiya [a, b] da uzluksiz bo'lsa, u shu oraliqda chegaralangan bo'ladi.
Teorema 2. y = f(x) funksiya [a, b] segmentida uzluksiz bo‘lsin va shu segmentning uchlarida turli belgilarning qiymatlari qabul qilinsin, u holda [a, b] segmentining ichida hech bo‘lmaganda bo‘lsin. bir nuqta x = C, bu erda funktsiya yo'qoladi:
f(C) = 0, bu yerda a < C< b
Bu teorema oddiy geometrik ma'noga ega: agar [a, b] segment uchlariga mos keladigan y = f(x) uzluksiz funksiya grafigining nuqtalari Ox o'qining qarama-qarshi tomonlarida yotsa, u holda bu grafikni kesishadi. Ox o'qi segmentning kamida bitta nuqtasida. Uzluksiz funksiyalar bu xususiyatga ega bo'lmasligi mumkin.
Bu teorema quyidagi umumlashtirishni qabul qiladi.
3-teorema (oraliq qiymatlar haqidagi teorema). y = f(x) funksiya [a, b] segmentida uzluksiz bo'lsin va f(a) = A, f(b) = B. U holda A va B o'rtasidagi ixtiyoriy C soni uchun ichida shunday nuqta mavjud. bu segment
CI [a, b] shundayki f(c) = C.
Bu teorema geometrik jihatdan aniq. Funktsiya grafigini ko'rib chiqing
y = f(x). f(a) = A, f(b) = B bo'lsin.
Keyin har qanday y = C chiziq, bu erda C - A va B o'rtasidagi istalgan son, funktsiya grafigini kamida bitta nuqtada kesib o'tadi. Kesishish nuqtasining absissasi f(c) = C bo'lgan x = C qiymati bo'ladi.
Shunday qilib, bir qiymatdan ikkinchisiga o'tadigan uzluksiz funktsiya barcha oraliq qiymatlardan o'tadi. Ayniqsa:
Natija. Agar y = f(x) funksiya qaysidir oraliqda uzluksiz bo‘lib, eng katta va eng kichik qiymatlarni qabul qilsa, u holda bu oraliqda u kamida bir marta eng kichik va eng katta qiymatlari orasidagi istalgan qiymatni oladi.
HOSILA VA UNING QO'LLANISHI. HOSILA TA'RIFI
Qaysidir oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaga ega bo‘lsin. Bu oraliqdan x argumentining har bir qiymati uchun y=f(x) funksiya ma’lum qiymatga ega.
Argumentning ikkita qiymatini ko'rib chiqing: asl x ₀ va yangi
x.
_{X- x 0} farqi x argumentining x ₀ nuqtasidagi o'sishi deb ataladi va Dx bilan belgilanadi. Shunday qilib, Dx \u003d x - x ₀ (argumentning o'sishi ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin). Bu tenglikdan kelib chiqadiki, x=x ₀ +Dx, ya'ni. o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati biroz o'sish oldi. _{Keyin, agar x 0} nuqtada funktsiyaning qiymati f (x _{0 ) bo'lsa, u holda yangi x nuqtada funktsiya f (x) = f (x 0} + Dx) qiymatini oladi .
_{Y - y 0} \u003d f (x) - f (x ₀ ) farqi x ₀ nuqtasida y \u003d f (x) funktsiyasining o'sishi deb ataladi va Dy belgisi bilan belgilanadi. Shunday qilib,
Dy \u003d f (x) - f (x ₀ ) \u003d f (x ₀ + Dx) - f (x ₀ ). (1)
_{Odatda, x 0} argumentining dastlabki qiymati o'zgarmas, x ning yangi qiymati esa o'zgaruvchan deb hisoblanadi. U holda y ₀ = f(x ₀ ) doimiy, y = f(x) esa o‘zgaruvchan. Dy va Dx o'sishlari ham o'zgaruvchilar bo'ladi va (1) formula Dy Dx o'zgaruvchining funktsiyasi ekanligini ko'rsatadi.
Funksiya ortishining argument oʻsishiga nisbatini tuzing
Bu munosabatning Dx>0 uchun chegarasi topilsin. _{Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u berilgan f(x) funksiyaning x 0} nuqtasida hosilasi deyiladi va f '(x ₀ ) bilan belgilanadi. Shunday qilib,
.
_{Ushbu funktsiyaning hosilasi y \u003d f (x) x 0} nuqtasida Dy funktsiyasi o'sishining Dx argumentining o'sishiga nisbati chegarasi, agar ikkinchisi o'zboshimchalik bilan nolga moyil bo'lsa.
E'tibor bering, bir xil funktsiya uchun turli nuqtalarda hosila x turli qiymatlarni olishi mumkin, ya'ni. hosilani x argumentining funksiyasi sifatida ko'rish mumkin. Bu funksiya f'(x) bilan belgilanadi.
Hosila f '(x),y ', bilan belgilanadi. X = a da hosilaning xususiy qiymati f '(a) yoki y '| bilan belgilanadi. _x=a .
f(x) funksiyaning hosilasini topish amali bu funksiyani differentsiallash deyiladi.
Ta'rif bo'yicha hosilani to'g'ridan-to'g'ri topish uchun quyidagi asosiy qoida qo'llanilishi mumkin:
1. X ga Dx o'sish qiymatini bering va funksiyaning o'sish qiymatini toping
f(x + Dx).
2. Dy = f(x + Dx) - f(x) funktsiyaning o'sishini toping.
3. Nisbat tuzing va bu nisbatning Dx?0 da chegarasini toping.
Misollar.
^{1. y = x 2} funksiyaning hosilasini toping
a) ixtiyoriy nuqtada;
b) x= 2 nuqtada.
A)
1. f(x + Dx) = (x + Dx) ² ;
2. Dy \u003d (x + Dx) ² - x ² \u003d 2xDx- x ² ;
3. .
b) f'(2) = 4
2. Ta’rifdan foydalanib, funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasini toping.
1..
2.
3.
HOLASINING MEXANIK MA'NOSI
Fizikadan ma'lumki, bir tekis harakat qonuni s = v t ko'rinishga ega, bu erda s - t vaqt bosib o'tgan yo'l, v - bir tekis harakat tezligi.
Biroq, beri tabiatda sodir bo'ladigan harakatlarning aksariyati notekis bo'ladi, keyin umumiy holatda, tezlik va, demak, masofa s t vaqtga bog'liq bo'ladi, ya'ni. vaqt funksiyasi bo‘ladi.
Demak, moddiy nuqta s=s(t) qonuniga asosan bir yo‘nalishda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlansin.
_{Keling, t 0} vaqt momentiga e'tibor beraylik . Shu paytgacha nuqta s=s(t ₀ ) yo‘lidan o‘tdi. _{Moddiy nuqtaning t 0} vaqtidagi tezligi v ni aniqlaymiz .
Buning uchun boshqa vaqt t ₀ +Dt ni ko'rib chiqing. U bosib o'tgan masofaga s=s(t ₀ +Dt) mos keladi. Keyin, Dt vaqt oralig'ida nuqta yo'lni bosib o'tdi
Ds \u003d s (t ₀ + Dt) -s (t).
Keling, munosabatlarni ko'rib chiqaylik. Dt vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik deyiladi. _{O'rtacha tezlik t 0} momentida nuqtaning harakatlanish tezligini aniq tavsiflay olmaydi (chunki harakat notekis). Ushbu haqiqiy tezlikni o'rtacha tezlik yordamida aniqroq ifodalash uchun siz kichikroq vaqt oralig'ini Dt olishingiz kerak.
Demak, ma'lum bir vaqtda harakat tezligi t _{0 (oniy tezlik) Dt> 0 bo'lganda, t 0} dan t ₀ + Dt oralig'idagi o'rtacha tezlikning chegarasi :
,
bular. notekis harakat tezligi vaqtga nisbatan bosib o'tgan masofaning hosilasidir.
HOSULAMANING GEOMETRIK MA'NOSI
Keling, avval berilgan nuqtadagi egri chiziqqa tegishning ta'rifini kiritaylik.
Egri chiziq va uning ustida qo'zg'almas M _{0 nuqta bo'lsin (rasmga qarang).Bu egri chiziqning yana bir M nuqtasini ko'rib chiqamiz va M 0} M sekantni chizamiz. Agar M nuqta egri chiziq bo'ylab harakatlana boshlasa va M ₀ nuqta qolsa . sobit, keyin sekant o'z o'rnini o'zgartiradi. _{Agar M nuqtaning egri chiziq bo'ylab M 0} nuqtasiga istalgan tomondan cheksiz yaqinlashganda , sekant ma'lum bir to'g'ri chiziq M ₀ T o'rnini egallashga moyil bo'lsa , u holda M ₀ T to'g'ri chiziq tangens deb ataladi. bu nuqtadagi egri chiziq M ₀ .
_{Shunday qilib, berilgan M 0} nuqtadagi egri chiziqqa teginish M nuqta egri chiziq bo'ylab M ₀ nuqtaga moyil bo'lganda, M ₀ M sekantning chegara holatidir .
Endi uzluksiz y=f(x) funksiya va shu funksiyaga mos keladigan egri chiziqni ko‘rib chiqaylik. _{X 0} qiymatida funktsiya y ₀ =f(x ₀ ) qiymatini oladi . _{Egri chiziqdagi bu x 0} va y ₀ qiymatlari M ₀ (x ₀ ; y ₀ ) nuqtasiga mos keladi . _{X 0} argumentiga Dx ortishini beraylik . _{Argumentning yangi qiymati y 0} +D y=f(x ₀ -Dx) funksiyaning oshirilgan qiymatiga mos keladi . M nuqtasini olamiz (x ₀ + Dx; y ₀ + Dy). _{M 0} sekantini chizingM va Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan sekant tomonidan hosil qilingan burchakni ph bilan belgilaymiz. Keling, munosabatlarni o'rnatamiz va buni sezamiz
.
Agar hozir Dx>0 bo'lsa, u holda Dy>0 funksiyaning uzluksizligi tufayli va shuning uchun M nuqta egri chiziq bo'ylab harakatlanib, M ₀ nuqtasiga cheksiz yaqinlashadi . _{Shunda M 0} M sekant M ₀ nuqtada egri chiziqqa tangens o'rnini va Dx>0 da q>b burchakni egallashga moyil bo'ladi , bu erda b Ox ning tangensi va musbat yo'nalishi orasidagi burchakni bildiradi. o'qi. tg ts funksiyasi uzluksiz ts?r / 2 da ts ga bog'liq bo'lganligi sababli, ts> b tg ts > tg b uchun va shuning uchun tangensning qiyaligi quyidagicha bo'ladi:
bular. f '(x) = tg b .
Shunday qilib, geometrik jihatdan y '(x ₀ ) bu funksiyaning grafigiga x ₀ nuqtasida teginishning qiyaligini ifodalaydi , ya'ni. x argumentining berilgan qiymati uchun hosila f(x) funksiya grafigiga mos keladigan M 0 (x; y ₎ nuqtaning musbat yo‘nalishi bilan tangens hosil qilgan burchak tangensiga teng bo‘ladi. Ho'kiz o'qi.
Misol. M (-1; 1) nuqtasida y \u003d x ² egri chizig'iga teginish qiyaligini toping .
Biz allaqachon (x ² )' = 2x ekanligini ko'rdik. Lekin egri chiziqqa tangensning qiyaligi
tg b = y'| _x=-1 = - 2.
FUNKSIYALARNING DIFFERENTSIALLANISHI. DIFFERENTSIALlanuvchi FUNKSIYANING UZMALILIGI
_{y=f(x) funksiya x 0} nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, agar u shu nuqtada aniq hosilaga ega bo‘lsa, ya’ni. agar munosabat chegarasi mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa.
Agar funksiya qaysidir segmentning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa [a; b] yoki interval (a; b), u holda [a segmentida differensiallanuvchi deyiladi; b] yoki mos ravishda (a; b) oraliqda.
Differensiallanuvchi va uzluksiz funksiyalar orasidagi bog‘lanishni o‘rnatuvchi quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema. _{Agar y=f(x) funksiya x 0} nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa , u shu nuqtada uzluksizdir.
Demak, funksiyaning differentsialligi uning uzluksizligini bildiradi.
Isbot . Agar , keyin
,
bu erda b - cheksiz kichik qiymat, ya'ni. Ax>0 da nolga moyil bo'lgan miqdor. Ammo keyin
Dy=f '(x ₀ ) Dx+bDx=> Dy>0 Dx>0 uchun, ya'ni x>x 0 uchun f(x) - f(x _{0 )> 0} ,
_{va bu f(x) funksiya x 0} nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi . Q.E.D.
Shunday qilib, uzilish nuqtalarida funktsiya hosilaga ega bo'lishi mumkin emas. Qarama-qarshi gap to'g'ri emas: ba'zi nuqtalarda differensiallanmaydigan uzluksiz funktsiyalar mavjud (ya'ni, bu nuqtalarda ularning hosilasi yo'q).
Rasmdagi a, b, c nuqtalarini ko'rib chiqing.
a nuqtada, Dx>0 bo'lganda, munosabat chegaraga ega emas (chunki bir tomonlama chegaralar Dx>0-0 va Dx>0+0 uchun har xil). Grafikda A nuqtada aniqlangan tangens yo'q, lekin qiyaliklari ₁ va ₂ bo'lgan ikki xil bir tomonlama tangens mavjud . Ushbu turdagi nuqta burchak nuqtasi deb ataladi.
b nuqtada, Dx>0 bo'lganda, nisbat belgi-doimiy cheksiz katta qiymatdir. Funktsiya cheksiz hosilaga ega. Ushbu nuqtada grafik vertikal tangensga ega. Nuqta turi - vertikal tangens bilan "burilish nuqtasi".
c nuqtada bir tomonlama hosilalar turli belgilarning cheksiz katta miqdoridir. Ushbu nuqtada grafik ikkita birlashtirilgan vertikal tangensga ega. Turi - vertikal tangensli "quduq" - burchak nuqtasining maxsus holati.
Misollar.
1. y=|x| funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bu funksiya nuqtada uzluksizdir
x = 0, chunki .
Keling, hozirda uning hosilasi yo'qligini ko'rsataylik.
f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. Shuning uchun Dy = f(Dx) - f(0) = |Dx|
Ammo keyin, Dx < 0 uchun (ya'ni, chapdan 0 ga intilayotgan Dx uchun)
Va Dx > 0 bo'lganda
Shunday qilib, Dx> 0 uchun munosabat o'ng va chap tomonda turli chegaralarga ega, ya'ni munosabat chegarasi yo'q, ya'ni. y=|x| funksiyaning hosilasi nuqtada x= 0 mavjud emas. Geometrik jihatdan bu x= 0 nuqtada bu “egri chiziq” aniq tangensga ega emasligini bildiradi (bu nuqtada ulardan ikkitasi bor).
2. Funksiya butun real chiziqda aniqlangan va uzluksiz. Bu funksiyaning x= 0 da hosilasi bor yoki yo‘qligini aniqlaymiz.
Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan funksiya x= 0 nuqtada differentsiallanmaydi.Bu nuqtada egri chiziqqa tegish x o'qi bilan p/2 burchak hosil qiladi, ya'ni. y o'qiga to'g'ri keladi.

2.2 Bir xil uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar