Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

Ta'rif 1 Funktsiya segmentda uzluksiz bo'ladi , agar u har bir ichki nuqtada uzluksiz bo'lsa va segmentning uchlarida u mos ravishda chap va o'ngda uzluksiz bo'lsa, ya'ni. , .   
Ta'rif 2 Funktsiya yuqoridan (pastdan) oraliqda chegaralangan bo'lsa . 
Funksiya agar oraliqda chegaralangan deyiladi .
Izoh qilaylik  . Keyin if  bilan chegaralanadi .
Ta'rif 3 Agar funksiya oraliqda chegaralanmagan deyiladi . 
Ta'rif 4   - TVG segmentdagi funktsiyalari, agar:
1)  ;
2)  .
Ta'rif 5 - segmentdagi TNG funktsiyalari , agar: 
1)  ;
2)  .
1-teorema Veyershtras teoremasi funksiya bo'lsin . Keyin: 
1)  ushbu segmentda cheklangan;
2)  ushbu segmentda TVG va TNG ga etadi.
 1)  . Keling  , , lekin bu segmentda chegaralanmagan, ya'ni.  . Mayli  . Keyin  , ya'ni. ketma-ketlik  sifatida cheksiz o'sadi  . Boshqa tomondan, ketma-ketlik  cheklangan, chunki  . Keyin, ixchamlik printsipiga muvofiq, biz konvergent pastki ketma-ketlikni tanlashimiz mumkin  . U uzluksiz bo'lgani uchun  nuqtada uzluksizdir  . Shuning uchun, ta'rifiga ko'ra  . Lekin bizda  , ya'ni.  . Qarama-qarshilik bor.
2) 1) ifodadan biz funksiya  bilan chegaralanganligini tushunamiz  . Shuning uchun  funktsiya qiymatlari to'plami cheklangan  . Shuning uchun  u TVG va TNGga ega:  va  . Isbotlash kerak  . ning mavjudligini isbotlaylik  . TVG ta'rifiga ko'ra  . Buning aksini taxmin qiling, ya'ni. nima  . Keyin  yoki  . Keyin funksiya  uzluksiz bo'ladi  .
1 ga ko'ra funktsiya  chegaralangan  , ya'ni,  . Bu. qarama-qarshilik bor.