Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

Izoh. Funktsiya segmentda uzluksiz bo'lishi muhim .   
Misollar
1. Funktsiya  uzluksiz ishlaydi  , lekin u bilan cheklanmaydi.
2. Funktsiya  intervalda uzluksiz ishlaydi  , lekin na TVG, na TNG ga etib bormaydi.
3. Butun real o'qdagi funksiya  cheklangan, lekin nuqtalarda uzluksiz emas  , TNG ga etadi.
2-teorema: Bolzano - Koshi teoremasi Let  va  . Keyin  .
 Aniqlik uchun ruxsat bering  . Biz segmentni  yarmiga ajratamiz, biz  va ni olamiz  . Agar  , keyin  . Agar bo'lsa , u holda segmentni qaerda va hokazo  deb nomlaymiz.
Shunday qilib, biz CCC mexanizmini shakllantirdik. Keyin, Kantor teoremasiga ko'ra ,  nuqta  bir vaqtning o'zida barcha segmentlarga tegishli. Keling, buni ko'rsataylik  .
. Aniqlik uchun  . Keyin bor  . CCC mexanizmiga ko'ra , mahallaga kirgandan  boshlab bir raqam bor . Keyin . Biz oraliq tanlash qoidasi bilan ziddiyat oldik .
O'shandan  beri  . Lekin  . Keyin  .
Izoh . Bolzano-Koshi teoremasi ildizlarni topishning samarali usulini taqdim etadi.
Natija. va , va funksiyasi bo'lsin . Keyin .
 Funksiyani ko‘rib chiqing  va Bolzano-Koshi teoremasini qo‘llang.
Ta'rif 6 funksiya bo'lsin . Funktsiyaga teskari funktsiya deyiladi . 
3-teorema (teskari funktsiya to'g'risida) Funktsiya uzluksiz va ba'zi bir intervalda qat'iy monoton bo'lsin . Keyin to'plamda monoton va uzluksiz bo'lgan teskari funktsiya mavjud ( uchlari bo'lgan segment ). 
 Aniqlik uchun funksiya  ga oshsin  . 8-teoremaning natijasiga ko'ra, funktsiya  barcha oraliq qiymatlarni oladi  , ya'ni.  . Shuning uchun, xaritalash  sur'ektivdir, ya'ni. to'plamga xaritalashdir  . Funktsiya  to'plamda ortib borayotganligi sababli  , u holda  . Shunday qilib, turli nuqtalarda xaritalash  turli qiymatlarni oladi, ya'ni. u inyeksiya hisoblanadi. Shuning uchun, xaritalash  ikki tomonlama, ya'ni. ustiga  birma-bir xaritalashdir . Bu teskari xaritalash , agar tomonidan berilgan, aniqlanadi, degan ma'noni anglatadi .

1.2 Ayrim elementar funksiyalarning uzluksizligi

1.