Uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalar

Polinomlarning uzluksizligi

y \u003d x funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz bo'lgani uchun, uzluksiz funktsiyalar mahsulotining uzluksizligi haqidagi teoremaga ko'ra, y \u003d x ² funktsiyasi uzluksizdir. Yuqoridagi teoremani izchil qo‘llagan holda, har qanday natural m uchun y = x ^m funksiya uzluksiz ekanligini aniqlaymiz . e = x , x ² , a ³ , …, x ^k uzluksiz funksiyalarni mos ravishda s ₁ , s ₂ , …, s _k doimiy raqamlariga ko‘paytirsak , c ₁ x , c ni olamiz.₂ x ² , …, c _k x ^k uzluksiz funksiyalardir. c ₀ + c ₁ x + … + c _k x ^k ni qo‘shsak , uzluksiz funksiya hosil bo‘ladi. Demak, polinom butun chiziqdagi uzluksiz funksiyadir.

2. 
   Ratsional funksiyaning uzluksizligi
   

Ta'rifga ko'ra, ratsional funktsiya R ( x ) ikkita ko'phadning nisbati, P ( x ) va Q ( x ), ya'ni R ( x ) =  .
Q ( x ) ≠ 0 bo'lgan barcha x ₀ nuqtalarida , R ( x ) funksiya bo'lak uzluksizligi teoremasi bo'yicha uzluksizdir. Agar x ₀ nuqtada Q ( x ₀ ) = 0 tengligi bajarilsa, u holda bu nuqtada, masalan, funktsiya uchun x ₀ = 1 nuqtasida bo'lgani kabi, o'chiriladigan uzilish bo'lishi mumkin . Bundan tashqari, bu nuqtada ikkinchi turdagi uzilishlar bo'lishi mumkin, masalan, funksiya uchun x ₀ = 0 nuqtasida .
Quyidagi teorema keyingi tadqiqotlar uchun foydali bo'ladi.
14.1 teorema. X oralig'ida y = f ( x ) ko'paysin (yoki kamaysin) va uning qiymatlari to'plami Y oralig'ini hosil qiladi . U holda f ( x ) X dagi uzluksiz funksiyadir .
Buni isbotlash uchun eslaymizki, agar f( x ) X oralig'ida qat'iy monotonik bo'lsa , u holda 10.2 teorema xulosasiga ko'ra, bu intervalning istalgan ichki x ₀  nuqtasida va mavjud  . Agar bu raqamlar bir-biriga teng bo'lsa, u holda monotonlik tufayli f( x 0) va f( x )ЄC( x 0) ga teng bo'ladi. Agar bu qiymatlar bir-biriga teng bo'lmasa, f ( x ) funktsiyasining Y qiymatlari to'plamida nuqtalar va yana f ( x ) ning monotonligi tufayli "bo'shliq" mavjud . Ammo, taxminga ko'ra, Y qiymatlari to'plami bo'shliqning ta'rifi bilan "bo'shliqlar" bo'lishi mumkin bo'lmagan bo'shliqni hosil qiladi. Teorema isbotlangan.



3. Ko‘rsatkichli funksiyaning uzluksizligi
y = a ^x funktsiyasi monotonik ( a >1 uchun ortadi, 0< a <1 uchun kamayadi) va x  uchun uning qiymatlari to'plami  cheksiz intervaldir - barcha musbat sonlar to'plami. Isbotlangan teorema bo'yicha y = a ^x funksiya butun real o'qda uzluksizdir.
4 . Logarifmik funksiyaning uzluksizligi
_{Log a} x funksiyasi monoton ( a >1 bo‘lganda ortadi, 0< a <1 bo‘lganda kamayadi ) va x (0,+) uchun uning qiymatlar to‘plami  . Isbotlangan teorema bo'yicha y =log _a x uzluksiz (0,+) da.
5. y = x ^ funksiyaning uzluksizligi
y = x ^ funksiya x >0 va x ^ = e ^ ln x uchun aniqlanadi . Isbotlanganiga ko'ra, z =  ln x x > 0 uchun uzluksiz funksiya , y = e ^z funksiya barcha z uchun uzluksiz , shuning uchun kompleks funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema bo'yicha y = x ^{ bo'ladi.} x > 0 uchun uzluksiz funksiyadir .
6. y \u003d sin x funktsiyasi
Limitni hisoblashda , agar , keyin  ekanligi aniqlandi . y = x va y = sin x funktsiyalarining g'alatiligi tufayli , at . Bundan darhol kelib chiqadiki, qachon, tengsizlik o'rinli bo'ladi . x ₀ ixtiyoriy nuqta bo'lsin . Keling, buni isbotlaylik . Bu ga teng . O'z navbatida, bu ga teng . Chunki, yuqorida isbotlanganidek, , . Bundan tashqari, 2cos funktsiyasi aniq cheklangan. Infinitesials xususiyatlariga ko'ra, biz talab qilinadigan narsani olamiz.
7
y
. Funktsiya y = cos x
U kompozit funksiya uzluksizligi teoremasi bilan uzluksizdir, chunki  ,  uzluksiz funksiya va y = sin z ham uzluksiz funksiyadir.
8. Funktsiya y = tgx _
Bu funksiya dan tashqari barcha nuqtalarda uzluksizdir  . Bularda, ikkinchisi, ikkinchi turdagi uzilishlarga ega.
9. Funktsiya y = ctg x
u ikkinchi turdagi uzilishga ega bo'lgan x = n, n z nuqtalaridan tashqari barcha nuqtalarda uzluksizdir .
10. y = a rcsin x funksiyaning uzluksizligi
U [-1, 1] segmentida aniqlanadi, uning ustiga ortadi va [  ] segmenti uning qiymatlari to'plamidir. Isbotlangan 14.1 teorema bo'yicha y = arcsin x [-1, 1] da uzluksizdir.
11. y = arccos x funksiyaning uzluksizligi
Bu arcsin x + arccos x = identifikatsiyasidan kelib chiqadi  , ya'ni arccos x =  -arcsin x [-1, 1] da uzluksiz bo'lgan funksiyadir.
12. y = arctg x funksiyaning uzluksizligi
Funksiya butun son qatorida aniqlanadi va ortib boradi. Qiymatlar to'plami oraliq (  ). Demak, y = arctg x butun sonlar qatorida uzluksizdir.
13. y = arctg x funksiyaning uzluksizligi .
Tenglikdan kelib chiqadi: arctg x + arctg x =  .
II bob. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi. To'xtash nuqtalari va ularning tasnifi
2.1 Intervalda uzluksiz differensialanuvchi boʻlmagan funksiyalarning xossalari

•