Uzluksiz kasrlardan foydalanish usuli

Uzluksiz kasrlardan foydalanish usuli.

Ushbu usul bevosita

taqqoslama uchun keltiriluvchi usuldir.

Taqqoslamali tenglamada va a  0 bo‘lsin. U holda
kasrni uzluksiz kasrga yoyib, , munosib kasrlarni topamiz.
Bu munosib kasrlar uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. bo‘lishini inobatga olsak,

tenglikni hosil qilamiz.

Oxirgi tenglikdan yoki
hosil bo‘ladi. Agar taqqoslamaning ikkala tomonini
ga ko‘paytirsak,

yechimni hosil qilamiz.

Misol

taqqoslamani yeching.
va bo‘lganligi uchun taqqoslamaning
modulini va ikkala tomonini 3 ga bo‘lamiz, ya’ni

taqqoslama hosil bo‘ladi.
Endi kasrni munosib kasrga yoyamiz. Buning uchun Yevklid
algoritmidan foydalanamiz:


ekanligidan foydalanib, quyidagi
jadvaldan, larni topamiz:

	0	1	1	1	17
	1	1	2	3	53

Demak, bundan

yechim hosil bo‘ladi.
Berilgan taqqoslamaning yechimlari esa,
quyidagilardan iborat bo‘ladi:


Uzluksiz va munosib kasrlar

Bizga a va b butun sonlar berilgan bo‘lsin. Bu sonlar uchun

Yevklid algoritmini qo‘llasak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
,

,

,


Natijada nisbatni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

berilgan nisbatning yuqoridagi ko‘rinishiga uning uzluksiz
kasrga yoyilmasi deyiladi. Odatda uzluksiz kasr quyidagicha
belgilanadi:.
Uzluksiz kasrda quyidagi uch hil holat bo‘lishi mumkin:
1) a >b, bu holda bo‘ladi;
2) bu holda bo‘ladi;
3) bo‘lsa, nisbatni

shaklda yozib olamiz. Bu yerda

to‘g‘ri musbat kasr bo‘lib, natijada
quyidagi yoyilma hosil bo‘ladi:


Misol

kasrni uzluksiz kasrga yoying


Berilgan
ratsional sonning munosib kasrlari deb,
kasrlarga aytiladi. Bu munosib kasrlarning eng ohirgisi berilgan
ratsional kasrga teng bo‘ladi.
Munosib kasrlarni hisoblash uchun

deb quyidagilarni yozib olamiz:

Matematik induksiyaga asosan

tenglikni olamiz.
Bu yerda
Ushbu bog‘lanish munosib kasrni hisoblash uchun xizmat
qiladigan rekkurent formuladir. Quyidagi sxema istalgan
sonlarni hisoblash imkonini beradi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi

Bizga m ta tenglamadan iborat n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(13.1)

bu yerda noma’lumlar. Tenglamalarni birinchi, ikkinchi, va hokazo m-tenglama deb nomerlab chiqilgan deb hisoblaymiz. i j , a koeffitsient i-tenglamadagi j x noma’lumning koeffitsientini, i b esa itenglamaning ozod hadi. Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni m ta satr va n ta ustundan iborat matritsa ko‘rinishida yozish mumkin

Ushbu matritsa chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Quyidagi A matritsa esa chiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasi deyiladi:

Agar (13.1) sistemaning barcha ozod hadlari 0 ga teng bo‘lsa, u holda (13.1) sistema bir jinsli tenglamalar sistemasi deb ataladi. Agar (13.1) sistemada m n  bo‘lsa, u holda ushbu sistema n - tartibli sistema deyiladi. Yechimga ega bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Masalan, ixtiyoriy bir jinsli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi, chunki barcha noma’lumlarni 0 ga teng qilib olinsa, u bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi. Yagona yechimga ega bo‘lgan sistema aniq sistema, bittadan ortiq yechimga ega bo‘lgan sistema aniqmas sistema deyiladi. (13.1) sistemani qulaylik uchun qisqacha

yig‘indilar ko‘rinishida yozish mumkin. Berilgan matrtsaning satrlarini ustunlarini esa orqali belgilab olamiz.