Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

3. Funksiyaning o‘sishi va kamayishi.
2-teorema . Agar f (x) funksiya X oraliqda uzluksiz, hosilasi esa shu oraliqda musbat (yoki manfiy) bo‘lsa, funksiya oraliqning ichki nuqtalarida o‘sadi (mos ravishda kamayadi).
Isbot. x₁ va x₂ nuqtalar X oraliqdan olingan va x₁<x₂ bo‘lsin. Shartga ko‘ra oraliq ichida f>0, jumladan c(x₁; x₂) nuqtada f(c)>0. Lagranj teoremasiga muvifiq f(x₂)-f (x₁)=f(c)(x₂-x₁), bunda f(c) (x₂-x₁)>0. Bunga qaraganda f(x₂)>f(x₁), ya’ni X oraliqda f (x) funksiya o‘sadi.
X da f(x)<0 bo‘lgan hol ham shu kabi qaraladi.
Teoremaning kuchaytirilgan ko‘rinishi: Agar f funksiya X oraliqda uzluksiz, hosilasi nomanfiy (nomusbat) va faqat ichki nuqtalarning chekli to‘plamida nolga teng bo‘lsa, f funksiya shu oraliqda o‘sadi (kamayadi).
1-rasmda tasvirlanishicha [x₀; x₃] kesmaning ichki x₂ nuqtasidagina f nolga teng (unda funksiya grafigi bukiladi), qolgan nuqtalarda funksiyaning hosilasi musbat va funksiya o‘sadi.
3-teorema. Agar f funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, hosilasi shu nuqtaning chap yaqinida musbat (mos ravishda manfiy), o‘ng yaqinida manfiy (musbat) bo‘lsa, f funksiya x₀ nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi.
Isbot. x₀ dan chapda f¢>0 bo‘lsa, unda funksiya o‘sadi, x₀ dan o‘ngda f¢<0 bo‘lsa, bu tominda funksiya kamayadi. U holda funksiya x₀ nuqtaning o‘zida nuqtaning chap va o‘ng yaqinidagiga nisbatan kattaroq qiymatni qabul qiladi. Demak, x₀ nuqta –funksiya maksimum nuqtasining abssissasi.
Teoremaning funksiya minimumiga oid qismi ham shu kabi isbotlanadi.

5-ilova