Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas
“Hosilaning tatbiqlari” mavzusi bo‘yicha amaliy mashg‘ulotining ta’lim texnologiyasi xaritasi
Download 1.66 Mb.
|
Hosilaning tatbiqi (2)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mavzu savollari Bilaman Bilishni xoxlayman Bilib oldim
- Funksiyaning hosilasi yormamida funksiyaning exstremumi va monononligini topishga doir tarqatma materiallar 1. Funksiyaning ekstremumlarini aniqlash.
- 2. Funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish.
|
1 .1. “Hosilaning tatbiqlari” mavzusi bo‘yicha amaliy mashg‘ulotining ta’lim texnologiyasi xaritasi
1-ilova 2-ilova
Guruhlarga beriladigan o‘quv topshiriqlari Bunda o‘qituvchi 4 ta variantdan (har bir variantdagi misollar soni va qiyinlik darajasini talabalarning bilim sifati va qobiliyatini e’tiborga olgan holda) iborat misollar tuzadi 4-ilova Funksiyaning hosilasi yormamida funksiyaning exstremumi va monononligini topishga doir tarqatma materiallar 1. Funksiyaning ekstremumlarini aniqlash. 1. Agar [a; b] kesmada f(x) funksiya o‘suvchi bo‘lsa shu kesmaga tegishli ixtiyoriy abssissali nuqtada f (x) grafigiga o‘tkazilgan urinma OX o‘qining musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir burchak tashkil etadi. O‘tkir burchak tangansi esa musbat, tg > 0, bundan k = f(x1)>0 ni aniqlaymiz. Shu kabi [d;e] da f funksiya kamayuvchi bo‘lsa, o‘tmas burchak va k=tg=f(x)<0 bo‘ladi. f funksiya o‘suvchi, ya’ni bo‘lganda f(x1)<f(x1+h) bo‘lib, argumentning orttirmasi va funksiyaning unga mos orttirmasi bir xil ishorali, funksiya kamayuvchi bo‘lganda esa qarama-qarshi ishorali bo‘ladi. 1-teorema. Agar x1 nuqtada f funksiyaning hosilasi f (x1)>>0 bo‘lsa, shu nuqta yaqinida argumentning x=h va funksiyaning y =f(x0+h)-f(x0) orttirmalari bir xil ishorali, f¢(x1)<0 bo‘lganda bu orttirmalar qarama-qarshi ishorali bo‘ladi. Isbot. Shartga ko‘ra nuqtada f¢ hosila mavjud. U holda dan ga o‘tishdagi funksiya orttirmasini f=f (x1+h)-f (x1)=(f ¢(x1)+)h ko‘paytma ko‘rinishida yozish mumkin. funksiya h0 da cheksiz kichik, . Shunga ko‘ra h0 da f¢ va f ¢+ lar x1 nuqta yaqinida bir oil ishoraga ega bo‘ladi. Demak, ikki hil bo‘lishi mumkin: 1) yo f¢>0, u holda ko‘paytmadagi Df va h orttirmalar bir xil ishorali; 2) yoki f¢<0, bu holda Df va h orttirmalar har oil ishorali. Isbot bo‘ldi. x0 nuqtaning (V.5-rasm) chap yaqinida f¢(x0-h)<0, o‘zida f¢(x0)=0 (chunki (x1, f(x1)) nuqtadan o‘tuvchi urinma OX o‘qiga parallal, g=0, tgg=0), o‘ng yaqinida f¢(x0+h)>0. Shu bilan birga f ning x0 nuqta atrofidagi qiymatlari x0 dagi qiymatidan kichik emas, f(x0+h)≥f(x0), ya’ni f (x) funksiya x0 nuqtada minimumga erishadi. Aksincha, f (x3±h)≤f(x3), ya’ni funksiya x3 nuqtada maksimumga erishadi. Maksimum va minimum nuqtalarini birgalikda funksiyaning ekstremum nuqtalari deb ataladi. Shunday qilib, funksiyaning nuqtada ekstremumga (ekstremal qiymatga) ega bo‘lishi uning shu nuqtada va uning atrofida qanday qiymat qabul qilishiga bog‘liq. Ekstremum nuqtasida f¢=0 bo‘lib, unda f grafigiga urinma OX o‘qiga parallal bo‘ladi. Lekin hosila mavjud bo‘lmagan (funksiya differensiallanmaydigan) nuqtalarda ham funksiya ekstremumga ega bo‘lishi mumkin. V.6-rasmda A maksimum nuqtasidan o‘tgan urinma OY o‘qiga parallel (g=90°), f¢(x=a)=tg90°= . Chizmadagi C maksimum nuqtasidan esa bittadan ortiq (chizmada ikkita) urinma o‘tayotganligidan bu holda ham hosila mavjud emas. 2-teorema. f funksiyaning hosilasi x0 ekstremum nuqtada yo nolga teng, yoki mavjud emas. Isbot . To‘rt hol bo‘lishi mumkin: 1) f¢(x0)>0; 2) f¢(x0)<0; 3) f¢(x0)=0; 4) f¢(x0) hosila mavjud emas. Agar f¢(x0)>0 bo‘lsa, 1-teoremaga muvofiq x0 nuqta yaqinida Df va Dx orttirmalar bir xil ishoraga ega bo‘ladi: [x0-h; x0] kesmada Dx=x0-(x0-h)=h>0 va Df = f (x0)-f(x0-h)>0; [x0;x0+h] kesmada Dx= x0-h-x0=h>0 va Df = f(x0+h)- f (x0)>0; Bunga qaraganda [x0-h;x0+h] kesmada f(x0-h)<f(x)<f(x0+h) o‘rinli, ya’ni x0–ekstremum nuqtasi emas 2. Funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish. Bu turdagi masalalar bilan oldin ham shug‘ullanganmiz (Koshi tengsizligi va hokazo). Endi ularda hosilaning tatbiqi bilan tanishamiz. 2-rasmda f (x) uzluksiz funksiyaning [a; b] kesmaga mos qiymatlari to‘plami [m; M] kesmadan iboratligi tasvirlangan. Bu qiymatlardan eng kichigi ga, eng kattasi ga teng. Ular [a; b] kesmaning uchlariga (masalan, chizmada x=b ga), ekstremum beradigan, ya’ni hosila nolga aylanadigan nuqtalarga (B, D minimum nuqtalariga, E maksimum nuqtasiga), 1-rasmda tasvirlanganidek hosila cheksizlikka aylanadigan nuqtalarga (O nuqta–minimum nuqtasi, eng kichik qiymat nuqtasi), 3-rasmda tasvirlangandek x=c uzilish nuqtasiga to‘g‘ri kelishi mumkin. Keyingi holda funksiyaning eng katta qiymati f(c)=M, eng kichik qiymati f (c)=0. Uzluksiz funksiyaning [a; b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini izlash tartibi quyidagicha: a) funksiyaning kesma uchlaridagi f (a) va f (b) qiymatlarini topish; b) hosila f=0 bo‘ladigan nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini topish; d) hosila mavjud bo‘lmagan nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini topish; e) bu topilgan barcha qiymatlardan eng katta va eng kichigin aniqlash kerak. Ba’zan quyidagi hollardan foydalanish ishni yengillashtiradi: 1) agar f (x) funksiya x0 nuqtada o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatini qabul qilsa, f (x)+A, f (x)B (bunda B>0) funksiyalar ham, shuningdak, f (x)≥0 bo‘lganda (f (x))n, nN ham shu nuqtada o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatini qabul qiladi. Faqat B<0 bo‘lganda f (x)B funksiya, aksincha, eng kichik (eng katta) qiymatga erishishi mumkin. Masalan, y=x2 kabi funksiyalar ham [1;2] kesmada eng katta qiymatni x=2 da, eng kichik qiymatni x=0 da qabul qiladi; 2) agar f funksiya x0 nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilgan bo‘lsa, shu nuqtada f va 1/f funksiyalar o‘zlarining eng kichik (mos ravishda eng katta) qiymatini qabul qiladi. Download 1.66 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|