В инженерной практике свойства промышленных объектов

1.3 Аппроксимация переходных характеристик объектов.
Определение по кривой разгона свойств нейтрального и устойчивого объектов 1-го порядка с запаздыванием при ступенчатом возмущении y_B показано на рисунке 3, а, б, в.

Рисунок 3 – Ступенчатое возмущение (а) и кривые разгона для одноёмкостных (б, в) и двухъёмкостных (г, д) объектов регулирования:

б, г – нейтральных; в, д - устойчивых

В первом приближении объекты 2-го порядка можно аппроксимировать двумя последовательно соединенными звеньями. Нейтральные объекты 2-го порядка аппроксимируют звеном запаздывания и нейтральным звеном 1-го порядка, а устойчивые объекты 2-го порядка — звеном запаздывания и апериодическим звеном 1-го порядка.

При аппроксимации нейтрального объекта 2-го порядка с запаздыванием (рисунок 3,г) через ту часть его кривой разгона, где выходная величина изменяется с постоянной скоростью, проводят наклонную прямую до пересечения с осью абсцисс и принимают, что выходная величина объекта изменяется сначала по горизонтальной, а затем по вновь проведенной наклонной прямой. Время запаздывания τ и время разгона T_ε такого объекта определяют по графику.
При аппроксимации устойчивого объекта второго порядка с запаздыванием (рисунок З, д) через точку перегиба Е его кривой разгона проводят касательную до пересечения с осью абсцисс в точке В и принимают, что выходная величина объекта изменяется по ломаной кривой ОBЕ и далее по кривой разгона. Время запаздывания τ и постоянную времени объекта Т_о находят по графику: τ = ОВ; T₀ = BD.
Именно такую аппроксимацию объектов обычно применяют для определения их свойств в численном выражении с целью последующего нахождения оптимальных значений настроечных параметров регуляторов.
Известны также методы более точной аппроксимации объектов 2-го порядка. Например, устойчивые объекты 2-го порядка с запаздыванием или без него, кривые разгона которых имеют S-образную форму (рисунок 4), можно аппроксимировать следующим образом.
Непосредственно по графику кривой разгона находят значения коэффициента усиления объекта K = K y_B / y_B и времени действительного запаздывания τ_d, если оно есть, по отрезку oa ( τ_d = T_oa). Для определения же постоянных T₁² и T₂ к точке перегиба Е кривой разгона проводят касательную до пересечения с осью абсцисс и горизонталью, ордината которой равна k y_Bъ. На этих горизонтальных прямых откладывают подкасательные T_bd и T_cd и определяют их величины.

Рисунок 4 – Нахождение постоянных времени объекта по S-образной кривой разгона

Отрезок cd численно равен постоянной Т₂(Т₂ = T_cd ).

Постоянную же T₁² находят по отношению T_bd /Т₂, используя зависимость, приведенную на рисунке 5.

Рисунок 5 – Зависимость постоянной Т₁² /Т₂ от Т_bd / Т₂

Отметим, что S-образные кривые разгона описываются уравнением устойчивого объекта 2-го порядка только при соблюдении условия

T_bd /Т₂ ≤ 1,4.
При нарушении этого соотношения экспериментально полученные S-образные характеристики могут быть описаны уравнениями более высокого порядка. В качестве примера на рисунке 6 приведены переходные характеристики устойчивых объектов 1—4-го порядков.

Рисунок 6 – Переходные характеристики объектов n-го порядка

При определении численных значений свойств объектов 3-го и более высоких порядков по переходным характеристикам последние аппроксимируют цепочкой последовательно соединенных одного или нескольких апериодических звеньев 1-го порядка, имеющих одинаковые постоянные времени Т, и звеном запаздывания, условное время которого равно τ_x . Передаточная функция такого соединения

(1)
где п-1, 2, 3, .....— число апериодических звеньев.
Сначала экспериментально полученную S-образную кривую разгона обрабатывают так, как это показано на рисунке 4, находят величины T_ab и T_bd и по ним определяют отношение T_ab/T_bd Затем, используя данные таблицы 1, устанавливают порядок объекта п
При проведении касательной к точке перегиба кривой разгона учитывают, что координаты точки Е (рисунок 4) и отношение отрезков Т_аb/Т_bd связаны между собой зависимостями, приведенными на рисунке 7. Это облегчает нахождение точки перегиба и позволяет скорректировать ее местоположение.

Рисунок 7 – Зависимость координаты точки перегиба S-образной переходной характеристики от отношения Т_аb/Т_bd

Если отношение Т_аb/Т_bd с заданной точностью равно табличному значению, то объект соответствует определенному порядку. Если же оно отличается от имеющегося в таблице, то порядок объекта устанавливают по ближайшему меньшему табличному значению Т_аb/Т_bd и принимают, что передаточная функция описывается равенством (1).

При Т_аb/Т_bd < 0,104 порядок объекта равен единице (п=1) и величины Т и τ_x находят по переходной характеристике:
Т = T_bd τ_x = T_ab (2)
Если порядок объекта выше единицы, то сначала определяют постоянные времени входящих в него апериодических звеньев
Т = T_bd / K₁ (3)
а затем вычисляют значение времени запаздывания τ₁
τ₁ =K₂T (4)
Числовые значения постоянных K₁ и K₂ при известном порядке объекта приведены в таблице 1.
Таблица 1 Данные для определения порядка объекта и параметров его передаточной фунции

Таb/Тbd	n	K1	K2
0 0,104 0,218 0,319 0,410	1 2 3 4 5	1 2,718 3,695 4,463 5,119	0 0,282 0,805 1,435 2,100

Условное время запаздывания объекта τ_x находят по равенству

τ_x = T_ab - τ₁ (5)
Если на экспериментальной кривой разгона имеется участок запаздывания ОА, то это экспериментально найденное время запаздывания τ_d = Т_оа необходимо прибавить к величине T_ab (объект 1-го порядка) или разности
T_ab - τ₁ (объект 2-го или более высокого порядка). Таким образом, для объектов 1-го порядка общее время запаздывания τ объекта можно определить по равенству
τ = τ_d + τ_x (6)
а для объектов 2-го порядка — по равенству
τ = τ_d + τ_x - τ₁ (7)
Коэффициент усиления объекта K находят по отношению
(8)

4.