Va komunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi toshkent axborot texnalogiyalari universiteti

4.12-rasm. O‘rtacha kvadratik og‘ishning normal taqsimlanish grafigi shakliga ta’siri.

Normal taqsimlanish grafigining maksimal ordinatasi f (x) o‘rtacha ^{arifmetik kattalik (} x ^{) kutilayotgan matematik natija  ga teng bo‘lgan} holatga to‘g‘ri keladi ( ^{x  } ) va grafikni simmetrik joylashgan ikkita qismga bo‘luvchi o‘qi hisoblanadi. (4.12-rasm).
x tenglik sharti bajarilganda, f (x) quyidagi matematik ifoda bo‘yicha
hisoblanib topiladi:

f (x) 
1
. (4.23)

Normal taqsimlanish egri chizig‘i shakli uni xarakterlovchi parametrlari:


^{x }²
o‘rtacha kvadratik og‘ishi  va ^{1  e 2}2 ifodadan biriga bog‘liq.

Formuladagi ^{x }


ni tasodifiy kattaliklarning normallangan og‘ishi t ga

almashtirsak, uni quyidagicha ifodalash mumkin:

• 
  
  _t 2
  

f (x)  ¹ e ^{2 , (4.24)}

• 
  _t 2
  

1 _{e 2}

ning son qiymati 2-ilovaning 2.1-jadvalida keltirilgan.

Grafik tasvir shakli o‘rtacha kvadratik og‘ishning () qiymatiga bog‘liq bo‘lib, u qancha katta qiymatga ega bo‘lsa normal taqsimlanish grafigi

maksimal nuqtasi x o‘qiga shuncha yaqin joylashgan bo‘ladi, ya’ni yassi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Tajribalar natijasi bo‘yicha olingan empirik taqsimlanishni nazariy taqsimlanish qonuni bilan appraksimatsiyalash, ya’ni tasodifiy kattaliklarni normal taqsimlanish grafigini qurish uchun ehtimollik ko‘rsatkichlarni ⁽ x ^{,) empirik taqsimlanishdan aniqlangan statistik ko‘rsatkichlar bilan} almashtirish kerak:
x = 5,06 yil;  = 0,7389 yil.
Binobarin ushbu hol uchun nazariy takrorlanishlar darajasini (chasto- tasini) hisoblash quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi.

f (x) 
_  x 5,06²
_e ^{2 } 0,7389² _{. (4.25)}

Kutilgan matematik natija  o‘rtacha kvadratik og‘ishning normal ^{taqsimlanish grafigining maksimal ordinatasi qiymati} x ^{ga to‘g‘ri keladi.} Tasodifiy kattaliklarning taqsimlanishini yuqoridagi formula bo‘yicha hisoblangan nazariy va 4.9-jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida qabul
qilingan empirik chastotalari 4.12-jadvalda keltirilgan.

4.12-jadval

	Intervallar
	3,8–4,3	4,3–4,8	4,8–5,3	5,3–5,8	5,8–6,3
Empirik, ω	0,2	0,24	0,2	0,16	0,2
Nazariy, ω

Tanlash usullari haqida tushuncha

Ko‘plab tadqiqot ishlarida, masalan, elektr uskunalarni ekspluatatsion ishonchliligini aniqlashda umumiy xususiyatlarga ega katta sonli umumiy (bosh to‘plamdan) uskunalardan bir qismigina (tanlama to‘plam ) ajratib olinib, ular misolida obyekt xususiyatlari o‘rganiladi. Masalan, korxonadagi 100ta bir xil seriyali elektr dvigatellardan 25 tasi ajratib olinib ularning ishonchliligi o‘rganiladi. 25ta elektr motorlarning tanlama to‘plamining ishonchliligini o‘rganish natijalari asosida 100 ta elektr motor (bosh to‘plam) bo‘yicha xulosa qilinadi. Amaliyotda bosh to‘plamdan to‘plamni tanlab olishni ikki turi qo‘llaniladi:
– bosh to‘plamni ajratish talab qilinadigan tanlash (oddiy qaytarilmay- digan va oddiy qaytariladigan tasodifiy tanlash).

– bosh to‘plamni qismlarga ajratgandan keyin tanlash (tipik tanlash – bosh to‘plamning tipik qismlaridan olinadigan tanlash, mexanik tanlash – bosh to‘plam tanlamaga nechta obyekt kiritilishi lozim bo‘lsa shuncha guruhlarga mexanik tarzda bo‘linadi va har bir guruhdan bittadan obyekt tanlanadi, seriyali tanlash – bosh to‘plamdan bittadan emas seriyalab olinadi). Tanlama usulining asosiy belgisi – bosh to‘plamdan (masalan, 100 ta bir xil seriyali elektr motorlardan) bir qismini tadqiqot o‘tkazish uchun tasodifiy ajratib olish (masalan, xohlagan 25 tasini tavakkaliga ajratib olish). Bu degani 100ta elektr motordan har qaysisi ajratib olinayotgan 25ta motor guruhi ichiga tushish ehtimolligiga ega. Shuning uchun, bosh to‘plamdan (100 ta elektr dvigateldan) ajratib olingan 25ta elektr dvigatellar bosh to‘p- lamga xos xususiyatlarni to‘g‘ri ifodalashda vakolatlikka ega (tanlama to‘plam) hisoblanadi va tasodifiy tanlab ajratish hisoblanadi. Odatda, bosh to‘plamdan taqsimlanish qonuni noma’lum bo‘lib bu haqidaga ma’lumot manbayi, majmuadagi x ta tasodifiy kattaliklardan ajratib olingan n ta kattaliklardan olingan natijalar hisoblanadi. Tanlama to‘plam kattaliklari (25 ta elektr motorlarni buzilmasdan ishlash muddati bo‘yicha) variatsion qatori bo‘yicha ularni empirik taqsimlanishi va miqdoriy ko‘rsatkichlari
(o‘rtacha arifmetik x , dispersiya ² va boshqalar) hisoblab topiladi.
Tanlash usuli empirik taqsimlanish va uning xarakteristikalari baholar deb qaraladi, ya’ni bosh to‘plamni noma’lum parametrlarini (matematik natija, o‘rtacha kvadratik og‘ish va boshqalar) taqribiy qiymatidir.
Baholashning nuqtaviy va intervalli usullari mavjud: statistik xarakte- ristikani nuqtaviy baholash birgina son, qiymat bilan amalga oshiriladi. Bosh to‘plamni dispersiyasi va matematik natijani baholashda tanlab (aj- ratib) olingan kattaliklarni o‘rtacha arifmetik ko‘rsatkichi x va tanlab olingan (tuzatish kiritilgan) dispersiya ² lardan foydalaniladi. (Bu yerda

n ^{  x}1
_{2 } 1 ⁿ
i 1
^{ x} ²


formula yordamida hisoblanadi).

i
Statistik baholar baholanayotgan parametrlarning «yaxshiroq» yaqin- lashishlarini berish uchun quyidagi talablarni qanoatlantirishi lozim:

• 
  siljimagan baho deb matematik kutilish, istalgan hajmli tanlama bo‘lganda ham baholanayotgan, ₀ parametrga teng bo‘lgan _ statistik bahoga aytiladi, ya’ni M (_ )  ₀ ;
  
• 
  siljigan baho bu matematik kiritilishi M (_ ) baholanayotgan para- metr ₀ ga teng bo‘lgan bahoga aytiladi;
  
• 
  effektiv baho deb (tanlamaning hajmi n berilganda) mumkin bo‘lgan
  

eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan statistik bahoga aytiladi.

Katta hajmli (n katta) tanlamalar qaralganda baholarga asoslilik talabi qo‘yiladi. Asoslilik baho deb baholanayotgan parametrga n da ehtimol bo‘yicha yaqinlashadigan statistik bahoga aytiladi.
Masalan, siljimagan bahoning dispersiyasi n da nolga intilsa, u holda bunday baho asosli bo‘ladi.
Nuqtali baholash muayyan bir bahoni aniqligi to‘g‘risida ma’lumot bermaydi. Nuqtali baholashni ushbu kamchiliklari statistik xarakteristikani ishonchli interval baholash usullaridan foydalanish yo‘li bilan bartaraf etiladi. Intervalli baho deb ikkita son – intervalining uchlari bilan aniq- lanadigan bahoga aytiladi.
Statistik xarakteristikani ishonchli baholash, tanlama to‘plam ma’lu- motlari bo‘yicha, ichida (oralig‘ida) oldindan belgilangan ehtimollikda (ishonchli ehtimollikda) bosh majmuani taqsimlanish parametrlarini haqiqiy, lekin kattaliklar intervali ma’lum bo‘lmagan qiymatlari joylashgan o‘sha ishonchli intervalni aniqlash imkonini beradi.
O‘rtacha uchun ishonchli (doveritelniye) chegaralari ishonchli interval chegaralari bosh to‘plamni dispersiyasi va o‘rtacha kattaliklari noma’lum bo‘lganda quyidagi formula yordamida topiladi:

yuqori chegarasi:
I _yu  x  _ ^;

pastki chegarasi: _{I p  x  } .
Ishonchli interval esa quyidagicha ifodalanadi:

 
I_  ^_x  _{ };_x  _{ }^ _{. (4.26)}
Natijalar qatori tahlil qilinib ishonchli interval aniqlanadi. Haqiqiy yechim (natija) bor interval:

 
^{I  }_^{x  } _^;_^{x  } _^ . (4.27)
Ishonchlilik intervali I_ ning 4.13-rasmdagi aks ettirilishidan quyidagilar kelib chiqadi.
Ishonchli ehtimollikning belgilab berilgan qiymati  uchun, _ bosh to‘plamni o‘rtacha tanlama to‘plamga almashtirishda yuzaga kelgan xatolik miqdoriy kattaligini ifodalaydi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:

_  t_ ^

, (4.28)