Va modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar

2-xossa. Agar ning modul bo‘yicha darajasi ga teng bo‘lsa, u holda ning daajasi ga teng bo‘ladi.

Isbot. Aytaylik, ning darajasi bo‘lsin, ya’ni U holda 42.1-xossaga ko‘ra, soni ga bo‘linishi kelib chiqadi, ya’ni soni ga bo‘linadi. Ikkinchi tomondan, esa , ya’ni . Bundan soni ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak 

3-xossa. Aytaylik, va ning modul bo‘yicha darajalari mos ravishda va bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda ning darajasi ga teng bo‘ladi.

Isbot. ning darajasi bo‘lsin, ya’ni U holda Bu taqqoslamadan ning modul bo‘yicha darajasi ekanligini hisobga olib, ni hosil qilamiz. Demak, soni ga bo‘linadi, bo‘lganligi uchun soni ga bo‘linishi kelib chiqadi.

Xuddi shunga o‘xshab, sonining ga bo‘inishini hosil qilamiz. Bundan esa ni ga bo‘linishi kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan, ekanidan, ni ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, 

4-xossa. modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.

Isbot. Aytaylik, sonlarining modul bo‘yicha barcha darajalari bo‘lsin. orqali bu darajalarning eng kichik umumiy karralisini belgilab, uning kanonik yoyilmasini qaraymiz.

U holda xar bir uchun, bu songa bo‘linuvchi topiladi, ya’ni, Darajasi bo‘lgan soni uchun ni qarasak, 2-xossaga ko‘ra sonining darajasi bo‘ladi.

3-xossaga ko‘ra sonining darajasi esa ga teng. Berilgan sonlar ning bo‘luvchilari ekanidan ixtiyoriy soni uchun taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.

Tenglama ildizlari soni uning darajasidan katta bo‘lmaganligi uchun kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan ixtiyoriy sonning darajasi ning bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun . Demak, ya’ni, boshlang‘ich ildiz. 