Va uzluksizligi

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

� = �(�) funksiya biror [�; �] kesmada aniqlangan va uzluksiz
bo’lsin. Unda, Veyershtrass teoremasiga asosan, funksiya bu kesmadagi
qandaydir �₁ va �₂ nuqtalarda o’zining eng katta �⁽�₁⁾ = 𝑀 va eng kichik
�⁽�₂⁾ = � qiymatlarini qabul qiladi.
Veyershtrass teoremasida kesmada uzluksiz funksiyalar uchun eng
katta va eng kichik qiymatlar mavjudligi tasdiqlanadi, ammo ularni qanday
topish masalasi qaralmaydi. Agar � = �(�) funksiya [�; �] kesma ichida
differnsiallanuvchi bo’lsa, bu masala quyidagi algoritm (ketma-ketlik)
asosida amalga oshiriladi.

1. 
   Berilgan funksiyaning �^′(�) hosilasi topiladi.
   
2. 
   �^′(�⁾ = 0 tenglamani yechib �₁, �₂, …, �_� kritik nuqtalar topiladi va ulardan [�; �] kesmaga tegishli bo’lganlari ajratiladi.
   
3. 
   Berilgan funksiyaning [�; �] kesmaga tegishli kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi �(�), �(�) qiymatlari topiladi.
   
4. 
   Yuqorida hisoblangan funksiya qiymatlari orasidan eng katta va eng
   

kichigi ajratiladi. Ular biz izlayotgan � va 𝑀 qiymatlar bo’ladi.
Agar � = �(�) funksiya [�; �] kesmada monoton o’suvchi bo’lsa, u
holda �⁽�⁾ = � va �⁽�⁾ = 𝑀 bo’ladi.
Agar � = �(�) funksiya [�; �] kesmada monoton kamayuvchi bo’lsa,
u holda �⁽�⁾ = 𝑀 va �⁽�⁾ = � bo’ladi.
Agar �(�) funksiya biror (chekli yoki cheksiz) oraliqda uzluksiz va
bitta ekstremumga ega bo’lib u maksimum (minimum) bo’lsa, u holda u
funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta (eng kichik) qiymati bo’ladi.
Juda ko’plab geometrik, fizik va texnik masalalarni yechish qandaydir funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Amaliyotda bunday masalalarni ko’pligi va ularning muhimligi matematik analizning rivojlanishi uchun muhim turtki bo’lgan.
Bunday masalalarni yechishda ko’pincha masala shartiga asosan erkli o’zgaruvchini tanlash va tekshirilishi kerak bo’lgan miqdorni u orqali ifodalash (funksiyani tuzish) keyin esa hosil qilingan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish kerak bo’ladi. Bunda erkli o’zgaruvchining o’zgarish oralig’i (chekli yoki cheksiz) ham masala shartidan aniqlanadi.
Ba’zi bir masalalarda tekshirilishi kerak bo’lgan funksiya tayyor holda
berilishi ham mumkin.