Va uzluksizligi

Vektor maydon oqimini hisoblash.Vektor maydon divergensiyasini, rotorini topish.Sirkulyatsiyani hisoblash. Maydon potensialini hisoblash.

u CT
2 - misol. a =xi-2y] + =k vektor maydonni ng tekisligi ning bi rinchi oktantada joylashgan

yuqori qismi bo'yicha oqimni hisoblang.

t> x + 2y+ 3= •6 tekisligining tengla-

masini kanonik shaklga keltirib sh¥1ini

chizamiz: !..+ J'+ =.. = I (3.6 - rasm).
6 3 2

Tekislikning normal vektorini aniq-

x + 2y + 3:= 6
.. ^--
y .

^Iaym1^.z: n^-=
¹ 1 +
2 ₁-:₊ 3 k

714
714
714
3.6.• rasm

ii vektor oqimini Q= JJ(ii,ii)dCT formula bo'yicha hisoblaymiz
Q == Jf (ii.ii}dCT = JJ(x - 4y +3:)da ,
a v14 ti



== i(6 - x -2y), dCT J 1+(=) ² + (=)² dxdy =

bu yerda

I+(-ff +(- )'dxf-0'

Shunday qilib,

1 1 3 6-2y
Q = ₃ff (x - 4y +6 - x -2y)dxa:v = 3Jf (6 -2y)dxdy = 2f dy J (1-y)dt =
0 0
3
= 2J(1- y )(6 -2y )dy = 0 .....
0

2) oqinuti uch tekislikka proeksiyalab l1isoblasl1
Oqimni hisoblashda Q=II a"da)I! +a_vdax: + azdaXJ' formu1adan

foydalanamiz. Bu yerda uchta

/1 =ffazdC1J-z' 12 = JJ a,,dCTxz , 1₃ =JJa₁da.'J'
t1

integrallami hisoblaymiz.

/₁ =JJax( x,y,:)daJ'! integralni hisoblash uchun:
t1

1) integral ostidagi funksiyada x ni sirt tenglamasi ni x = x(y,=) bilan almashtiramiz.

+dyd:' 8 < If 12,
2) dGy: = pr,₀₆da bo'lgani uchun da,,₇ = -dyd:, 8 > 1rl 2,
0 8 =trl 2

3) ".vr proyeksiya bo'yicha ikki karrali integralni hisoblash. Bu yerda 8 normal ii bilan Ox o'qi orasidagi burchak.

1₂ = JJ a.v( x,y,:)dO'n int_.egralni hisobJash uchun esa:

1. integral ostidagi funksiyada y ni sirt tenglamasi y =y( x,:) bilan almashtiramiz.

+dxd=, A t/ 2,

2. 
   dO':a = prxard a bo4 Jgani uchun du:u = -dxd:, A >tt / 2,
   

^[ 0, )., = Ir 12,

3. 
   ux: proeksiya bo'yicha ikki karrali integralni hisoblash.
   

Bu yerda i normal ii bilan Oy o'qi orasidagi burchak .
1₃ integral ham shu tarzda hisob- lanadi.
3- miso/. a ={y⁵,y,:⁴ -x⁴ } vektor maydonning x¹ + y.:! = 9 (0 s :s'l silin­
dming yon sirtining tashqi tomonidan o'tuvchi oqimini toping (3.7 -rasm).
[> Oqimni hisoblash uchun (3.5) formuladan foydalanamiz.
Q=±JI a,llyd: +a/l=dx +a,dxdy = ±JIy ⁵dyd= +)' +(:' -x')ix dy.
s s .
l) avval /₁=±JJydyd= integralni hisoblaymiz. Silindrning
s

1
tenglamasi x = +J9--.1,² bo'lgan S
qismida tashqi normal bilan x o'qi

orasidagi burchak o'tkir burchak bo'lgani uchu integral ishorasini «+» ishorasi bilan olamiz. Silindr tenglamasi x= -J9 -y ¹ ko'rinishda bo'l­
gan S₂ qismi uchun tashqi normal bilan x o'qi orasidagi burchak o'tmas
burchak bo'ladi, shuning uchun integralning bu qismida «-» ishorasi bilan olamiz.
¹• = JfY⁵dyd= +JJYsdyd= •JJYsdyd: -IJ J'sdyd= = O•

=±ff
.\ S, ()IC DJ:'
2) /₂ ydyd= integralni hisoblaymiz. Silindming tenglamasi
s
y = +9 -:c2 bo'lgan SJ qismida tashqi normal bilan y o'qi orasidagi burchak o'tkir burchak bo'lgani uchun integral ishorasini «+» ishorasi
bilan olamiz. Silindr tenglamasi y =-J9 - x ² ko'rinishda bo'lgan s.
qismi uchun tashqi normal bilan y o'qi orasidagi burchak o'tmas bur­ chak bo'ladi, shuning ucun integralni bu qismida « - » ishorasi bilan olamiz.

dxd:
12 =II 9- X ¹dxd:+II 9-x¹ =
· $4


=II 9 - X ² dxd= + II (-49-x? )(-dxd:)= 2JJ.J9_.t²Jxd:
Dr Dr Dr
Oxirgi integralni takroriy integralga keltirib yechsak /₂ = 45.tr kel ib
chiqadi.

4
3) /₁=±Jf(:-x•) dy integralni hisoblaymiz. Oz o'qi bilan silindr-
s
ning tashqi nonnali bilan x/ 2 burchak tashkil qilgani uchun /l = o
bo'ladi. Shunday qilib Q= 1₁ +1₂ +1₃ =4Str bo'ladi.

3.4.Vektor maydon divergensiyasi

Maydon divergensiyasi vektor maydonni ng muhim xarakteris­

tikalaridan biridir .. Faraz qilaylik, biror G sohada a =ai+a,}+ a:k
vektor maydon berilgan bo'lib, barcha o•zgaruvchilar bo'yicha uzluksiz birinchi tartibli xusussiy hosilalarga ega bo'lsin.

d^{I =_ca + · +}
Ta 'rif. a(M ) vektor maydonning divergensiyasi deb
. - ea,. Ca
Va r .:..:.:L
Ox , 0:
mun<>sobat bi/a11 aniqlangan skalyar miqdorga aytiladi.



- -
Vt!ktor 111aydonl divergensiyas ilting asosiy xossalari: •

• 
  div(a +b) :;;; diva + divb
  

• 
  agar c = canst , ya 'ni o'zgannas vektor bo'lsa, u holda dive = O
  

bo'ladi.

• 
  divK u.a) = u ·diva + (a gradu ), bu erda u =u(x,y,z)- skalyar funksiya.
  

Birinchi va ikkinchi xossalami tekshirish q1ym emas. Uchinchi
xossaning isbotini keltiramiz.
. ( -) o(u ·a.x ) a(u ·a,,) o(u ·a,.)

d^{IV U • a =}
ax ⁺
ay ^{. +} ft

::s:

₌ cu OU
a a .Ott a
2-+_l_++-+
u⁽ -^c::^a;2- + ^aa'^. + ^{aa )}= (a,gradu) + u ·divo .

-L
ex 0¹ c= ex v a:
diva yordamida a vektor maydon skalyar maydonga aylanadi.
Misol. a =r = { x,y,=} maydonning divergensiyasini toping.
,....._ d" - ox °" fr 1

ax
V JVr =
+ ·+-* + 1+ 1= 3.
Q.1 C=