Va uzluksizligi

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. 
   �⁽�⁾ = �⁴ − 2�² + 3 funksiyaning [−3; 2] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
   

Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
�^′(�⁾ = (�⁴ − 2�² + 3)^′ = 4�³ − 4�;
2) �^′(�⁾ = 0 tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: 4�³ − 4� = 0,
�⁽�² − 1 ⁾ = 0, �₁ = −1, �₂ = 0, �₃ = 1;
3) Kritik nuqtalarning har uchalasi [−3; 2] kesmaga tegishli.
Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi qiymatlarini
hisoblaymiz.
�⁽−3⁾ = (−3)⁴ − 2 ∙ (−3)² + 3 = 81 − 18 + 3 = 66, �⁽−1⁾ = �⁽1⁾ =
= 1⁴ − 2 ∙ 1² + 3 = 2, �⁽0⁾ = 0 − 0 + 3 = 3, �⁽2⁾ = 2⁴ − 2 ∙ 2² +
+3 = 11.
Bu qiymatlarni taqqoslab �⁽−3⁾ = 66 eng katta qiymat �⁽±1⁾ = 2
eng kichik qiymat ekanligini aniqlaymiz.

2. 
   �⁽�⁾ = �³ − 3�² + 1 funksiyaning [1; 3] kesmadagi eng katta va
   

eng kichik qiymatlari topilsin.
Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
�^′(�⁾ = (�³ − 3�² + 1)^′ = 3�² − 6�;

2. 
   Kritik nuqtalarni topamiz: 3�² − 6� = 0, �⁽� − 2⁾ = 0, �₁ = 0, va
   

�₂ = 2;
Demak, kritik nuqta ikkita bo’lib, ulardan biri, ya’ni �₁ = 0 nuqta qaralayotgan kesmaning ichki nuqtasi bo’lmaydi. Shuning uchun �₂ = 2 kririk nuqtanigina olamiz. Shunday qilib, biz �⁽1⁾, �(2) va �(3) larni topamiz. �⁽1⁾ = 1³ − 3 ∙ 1² + 1 = −1; �⁽2⁾ = 2³ − 3 ∙ 2² + 1 = −3;
�⁽3⁾ = 3³ − 3 ∙ 3² + 1 = 1.
Demak, �⁽3⁾ = 1 eng katta qiymat va �⁽2⁾ = −3 eng kichik qiymat
bo’ladi.

3. 
   � = �²��� funksiyaning [1; �] kesmadagi eng katta va eng kichik
   

qiymatlari topilsin.
Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
�^′ = (�²��� )^′ = 2���� + �² ∙ ¹ = 2���� + � = �(1 + 2���);
�

2. 
   �^′ = 0 tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz:
   

�⁽1 + 2���⁾ = 0, � = 0, 1 + 2��� = 0, ��� = − ¹, � = �

1 2
2
1
₋ 1
2 _.

Demak, �₁ = 0 va �₂ = �⁻² kritik nuqtalar bo’lib, ularning har
ikkalasi [1; �] kesmaga tegishli emas. Bundan tashqari, �₁ = 0 nuqta
funksiyaning aniqlanish sohasiga kirmaydi;

2. 
   Funksiyaning kesma chegaralaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
   

�⁽1⁾ = 1²��1 = 0; �⁽�⁾ = �²��� = �².
Demak, �⁽1⁾ = 0 funksiyaning [1; �] kesmadagi eng kichik qiymati va �⁽�⁾ = �² funksiyaning eng katta qiymati ekan.

4. 
   � = ������² funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati topilsin. Yechish: Bu yerda � argumentning o’zgarishi biror kesma bilan chegaralanmagan va funksiya (−∞; +∞) da aniqlangan. Shuning uchun biz funksiyaning qiymatlarini � ning (−∞; +∞) dagi qiymatlarida
   

qaraymiz.

1) �^′ hosilani topamiz: �^′ = (������² )^′ = ^2� ;

1+�⁴

2. 
   Kritik nuqtalarni topamiz:
   

2�
_1+�4 = 0, � = 0.
Demak, � = 0 nuqta kritik nuqta. Boshqa kritik nuqtalar mavjud emas. Chunki �^′ hosila � ning har qanday qiymatlarida mavjud.

2. 
   � = 0 nuqtaning atrofida hosilani ishorasini tekshiramiz.
   

� < 0 da �^′ = ^2�
1+�⁴
< 0 va � > 0 da �^′ = ^2� > 0
1+�⁴

bo’lishi ma’lum. Demak, berilgan funksiya � = 0 nuqtada minimumga ega
va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. U quyidagiga
teng. �⁽0⁾ = �����0² = �����0 = 0.

5. 
   Perimetri 2� bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar ichidan yuzi eng katta
   

bo’lganini toping.

Yechish: Biz tekshiradigan funksiya to’g’ri to’rtburchakning yuzidan

iborat bo’ladi. Bu funksiya � = �� ko’rinishda bo’ladi. Masalaning shartiga asosan 2� + 2� = 2� yoki � + � = �. Bundan � ni � orqali ifodasini aniqlaymiz va uni � ga qo’yamiz: � = � − � bo’lganligi uchun

� = � ∙ (� − �) yoki �⁽�⁾ = �� − �² bo’ladi. Bu yerda 0 ≤ � ≤ � bo’lishi ravshan. Shunday qilib, berilgan masala �⁽�⁾ = �� − �² funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni
aniqlaymiz:

1. 
   Funksiya hosilasini aniqlaymiz: �^′(�⁾ = � − 2�.
   
2. 
   Kritik nuqtalarni topamiz: � − 2� = 0, � = ^𝑝.
   

2

3. 
   � = ^𝑝 kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz:
   

2

� �
� ( ) = � ∙

(
2 2
− ^�)² = 2
_�2 _�2 _�2


− = . 2 4 4

4. 
   [0; �] kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz:
   

�⁽0⁾ = 0, �⁽�⁾ = 0.
Demak, funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymati

(

�
^𝑝) =
2
_𝑝2
4
bo’ladi.

Endi � ni topamiz: � = � − � = � − ^𝑝 = ^𝑝, Demak, � = �.
2 2

Shunday qilib, izlanayotgan to’g’ri to’rtburchak tomoni ^𝑝
2
dan iborat

bo’lgan kvadrat bo’ladi.

6. 
   � musbat sonni ikkita qo’shiluvchiga shunday ajratingki, bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lsin.
   

Yechish: Qo’shiluvchilardan biri � bo’lsin: u holda ikkinchi qo’shiluvchi � − � bo’ladi. Bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi o’zgaruvchi miqdor bo’ladi. Agar biz uni � bilan belgilasak, u ⁽� − �⁾� ga teng bo’ladi. Bu yerda 0 ≤ � ≤ � ekani ravshan.

Shunday qilib, berilgan masala � = �� − �² funksiyaning [0; �]
kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni topamiz:

1. 
   Funksiyaning hosilasini topamiz:
   

�^′ = (�� − �²)^′ = � − 2�;

2. 
   Kritik nuqtalarni topamiz:
   

� − 2� = 0, � = ^�;
2

3. 
   � = ^� kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz:
   

2

2

2

2
2

(
� (^� ) = � ∙ ^� − ^� )
₌ � ₋ �
= ^� ;

2 2 2
2 4 4

4. 
   [0; �] kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz:
   

2
�⁽0⁾ = 0, �⁽�⁾ = � ∙ � − �² = �² − �² = 0.

(
Demak, funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymati � ^� ) = ^�
2 4
bo’ladi.
Birinchi qo’shiluvchi � = ^� bo’lib, ikkinchi qo’shiluvchi ham � − � =
2
� − ^� = ^� bo’lsa, qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lar ekan.
2 2

7. 
   Jism �⁽�⁾ = −�³ + 9�² + 24� qonun bo’yicha to’g’ri chiziqli
   

harakat qiladi, bunda �⁽�⁾ −yo’l (metr hisobida) va � vaqt (sekund
hisobida). Vaqtning qanday paytida jism harakatining tezligi eng katta va u
qancha bo’ladi?
Yechish: Jism harakatining tezligi yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng: Ya’ni,
𝑉⁽�⁾ = �^′(�⁾ = (−�³ + 9�² + 24� )^′ = −3�² + 18� + 24.
Shunday qilib, berilgan masalani yechish 𝑉⁽�⁾ = −3�² + 18� + 24
funksiyaning ekstremumini topish masalasiga keltirildi.

1. 
   Funksiyaning hosilasini olamiz: 𝑉^′(�⁾ = −6� + 18;
   
2. 
   Kritik nuqtalarini topamiz: −6� + 18 = 0, � = 3.
   

Demak, funksiya birgina kritik nuqtaga ega.

3. 
   � = 3 nuqtaning chap va o’ng tomonida hosila ishorasini
   

aniqlaymiz:
� < 3 bo’lganda 𝑉^′(3⁾ > 0 va � > 3 bo’lganda 𝑉^′(3⁾ < 0 bo’ladi.
Shunday qilib, hosila � = 3 nuqtadan o’tishda o’z ishorasini musbatdan manfiyga o’zgartirdi. Shuning uchun � = 3�. bo’lganda jismning tezligi
eng katta bo’ladi va uning miqdori

𝑉⁽�⁾ = −3 ∙ 3² + 18 ∙ 3 + 24 = 51 ^�
𝑠
bo’ladi.

8. 
   Tubi kvadrat shaklida va hajmi 32�³ bo’lgan usti ochiq cho’milish
   

havzasining devorlari hamda tubini qoplash uchun sarflanadigan material
eng kam bo’lishi uchun cho’milish havzasining o’lchamlari qanday bo’lishi
kerak?
Yechish: Asosi tomonini � bilan, chuqurligini � bilan belgilaymiz. U
holda cho’milish havzasining hajmi
𝑉 = �²�
bo’ladi. Suv havzasining material bilan qoplanadigan yuzasi
� = �² + 4��
bo’ladi. 𝑉 = �²� dagi � ni � orqali ifodalaymiz va uni � ga qo’yamiz.
Natijada

� = �² + 4� �
= �² + ^4� = �² + ¹²⁸

�² � �
ni hosil qilamiz. Hosil bo’lgan bu funksiyani (0; +∞)da ekstremumga
tekshiramiz.
�^′ = (�² + ¹²⁸)^′ = 2� − ¹²⁸ ; 2� − ¹²⁸ = 0; � − ⁶⁴ = 0; � = 4.
� �² �² �²
� = 4 nuqtaning chap va o’ng tomonlarida �^′(�) ning ishorasini
aniqlaymiz.


�^′(�⁾|_�<4 < 0 va �^′(�⁾|_�>4 > 0

Demak, funksiya � = 4 nuqtada minimumga ega va bu minimum
funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. Suv havzasining chuqurligi

�
� = _�2
32
= = 2.
16