Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) 
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей 
в данной плоскости, то она параллельна самой плоскости. 
Доказать это утверждение легко.Если прямая параллельна прямой , 
которая лежит в плоскости , то а не может пересекать , иначе, по лемме о 
параллельных, обязана тоже пересекать , чего быть не может. 
Следовательно, прямая параллельна . 
Верно и обратное утверждение. 

---

Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости есть прямые, ей 
параллельные. 
Доказательство 
Построить такую прямую легко. В самом деле, пусть прямая параллельна 
плоскости (см. рис. 23). 
Рис. 23. Иллюстрация к доказательству 
Проведем через нее плоскость , которая пересекает плоскость по 
прямой (см. рис. 24). 
Рис. 24. Иллюстрация к доказательству 
Прямые и будут параллельны. В противном случае они бы пересеклись, 
так как лежат в одной плоскости . Но тогда бы прямая пересекла 
плоскость , а она ей параллельна. 
Понятно, что таких прямых в плоскости бесконечно много. Чтобы их 
получить, нужно чуть-чуть повернуть плоскость вокруг прямой . Или 
просто построить любую прямую в плоскости , которая параллельна 
прямой . 

---

Доказано. 
Теперь мы можем получить еще один признак параллельности прямой и 
плоскости: если прямая параллельна плоскости, то все прямые, параллельные 
данной прямой, либо параллельны плоскости, либо лежат в ней (см. рис. 25). 
Понятно, почему так. Если бы какая-то прямая пересекла плоскость, то все ей 
параллельные прямые тоже должны были бы это сделать по лемме о 
параллельных прямых, включая и исходную прямую, чего быть не может. 
Рис. 25. Иллюстрация к признаку параллельности прямой и плоскости 
Решение задач