Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Пример 3. 
В параллелепипеде через скрещивающиеся прямые 
и 
проходит пара 
параллельных плоскостей – левая и правая грани (см. рис. 51). 

---

Рис. 51. Иллюстрация к примеру 3 
Возьмите в руки два карандаша и расположите их параллельно. Легко видеть, 
какую плоскость они задают. Если вы совсем немного повернете один 
карандаш, но не в их общей плоскости, то карандаши станут 
скрещивающимися (см. рис. 52). При этом они еще очень близки к 
параллельности. Поворачивая карандаш еще, мы все дальше будем уходить от 
параллельности. 
Рис. 52. Скрещивающиеся карандаши 
Таким образом, возникает вопрос об угле между скрещивающимися прямыми. 
Чтобы дать ему формальное определение, воспользуемся равенством углов с 
сонаправленными сторонами. 
Теорема 
Пусть стороны двух углов попарно параллельны и сонаправлены. Тогда эти 
углы равны (см. рис. 53). 

---

Рис. 54. Иллюстрация к теореме 
С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться ниже. 
Доказательство теоремы 
Каждая пара сонаправленных лучей задает плоскость. 
Эти плоскости имеют две общие точки и – вершины углов, а значит, они 
пересекаются по прямой 
(см. рис. 55). 
Рис. 55. Иллюстрация к доказательству 
Отложим на соответствующих лучах равные отрезки: 

---

Получили два четырехугольника в каждой плоскости, которые являются 
параллелограммами, так как у них две противоположные стороны равны и 
параллельны. 
Тогда 
, 
и 
равны 
и 
параллельны. 
Тогда 
четырехугольник 
тоже 
параллелограмм. 
Тогда 
треугольники 
и 
равны, следовательно, 
. 
Вспомним, что в планиметрии для двух пересекающихся прямых меньший из 
полученных углов считается углом между прямыми. Т. е. угол между ними не 
больше 
. Угол между параллельными прямыми считается равным нулю. 
Теперь перейдем к разговору, что такое угол между скрещивающимися 
прямыми. 
Выберем произвольную точку . Она может лежать на одной из прямых или 
нет. 
Проведем через эту точку две прямые, параллельные, соответственно, одной и 
второй из скрещивающихся прямых. Угол между этими пересекающимися 
прямыми назовем углом между скрещивающимися прямыми (см. рис. 56). 
Рис. 56. Угол между скрещивающимися прямыми 
Если точку брать на одной из скрещивающихся прямых, то дополнительно 
строить придется только одну прямую. Понятно, что, если точки выбирать в 
других местах, мы будем получать равные углы, потому что у них будут 
сонаправлены стороны. 
Пример 4. 

---

Угол между скрещивающимися прямыми 
и 
в параллелепипеде равен 
углу между прямыми 
и 
. Если параллелепипед прямоугольный, то угол 
между скрещивающимися ребрами равен 
(см. рис. 57). 
Рис. 57. Иллюстрация к примеру 4