Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

 
Рассмотрим несколько практических задач. 
Пример 1. 
Сторона треугольника 
параллельна плоскости , а его стороны 
пересекают 
плоскость 
в 
точках и . 
Доказать, 
что 
треугольники 
и 
подобны (см. рис. 43). 
Рис. 43. Иллюстрация к примеру 1 
Доказательство 

---

Для начала отметим, что оба треугольника лежат в одной плоскости 
треугольника 
. 
Далее плоскость треугольника проходит через прямую , параллельную 
плоскости и 
пересекает 
плоскость по 
прямой 
, 
значит, 
прямые и 
параллельны. 
Задача 
свелась 
к 
планиметрической: 
в 
треугольнике 
отрезок 
параллелен основанию 
. Осталось доказать 
подобие треугольников 
и 
. Это сделать легко: 
(соответственные при параллельных прямых 
и 
) (см. рис. 44). 
Рис. 44. Иллюстрация к примеру 1 
Треугольники, у которых два угла попарно равны, подобны по признаку 
подобия. 
Доказано. 
Пример 2. 
Дан тетраэдр. На серединах его ребер построен четырехугольник. Определить 
его тип (см. рис. 45). 

---

Рис. 45. Иллюстрация к примеру 2 
Решение 
Начнем с того, что четырехугольник в пространстве не обязан быть плоским, 
т. е. его вершины могут не лежать в одной плоскости. Неплоский 
четырехугольник легко получить из плоского, немного согнув его по 
диагонали. Каков же наш четырехугольник? 
Рассмотрим грань 
. Она является треугольником, а 
в нем – средняя 
линия, которая параллельная основанию 
. Рассмотрим грань 
. В этом 
треугольнике 
средняя 
линия 
тоже 
параллельна 
основанию 
. 
Следовательно, 
параллелен 
. 
Но тогда через эти два отрезка можно провести единственную плоскость. И 
все четыре вершины окажутся в этой плоскости. Итак, наш четырехугольник 
оказался плоским и у него есть пара параллельных сторон 
и 
. 
Но аналогично 
, так как они параллельны 
каждый. 
Итак, в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно 
параллельны. Он параллелограмм. 
Ответ: параллелограмм. 
Скрещивающиеся прямые
 
Пока мы больше говорили о параллельных и пересекающихся прямых. 
Поговорим немного о скрещивающихся прямых. Для них есть простой и 
удобный признак.