Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Доказательство леммы 
Пусть прямые и параллельны и пересекает плоскость в точке (см. 
рис. 20). Докажем, что прямая тоже пересекает плоскость . 
Рис. 20. Иллюстрация к доказательству 
Так как прямые параллельны, то существует плоскость , в которой они обе 
лежат. Точка принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, плоскости 
пересекаются, причем по некоторой прямой , проходящей через точку (см. 
рис. 21). 

---

Рис. 21. Иллюстрация к доказательству 
Так как эта прямая лежит в обеих плоскостях, то в плоскости лежат все три 
прямые , , . Так как через точку не могут проходить две параллельные 
прямые для , то пересекает в некоторой точке . Но тогда – общая 
точка и для прямой , и для плоскости . 
Получается, что прямая или пересекает плоскость , или лежит в ней. Но 
лежать в плоскости они не может, иначе бы она лежала в обеих плоскостях, 
а такая прямая у нас уже есть – это . Таким образом, остается только один 
вариант: пересекает плоскость . 
Доказано. 
Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых 
Пусть 
.Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно 
показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 
Отметим точку на прямой и проведем через прямую и эту точку 
плоскость (см. рис. 22). 

---

Рис. 22. Иллюстрация к доказательству 
Покажем, что прямая лежит в этой плоскости. Если бы прямая пересекала 
плоскость , то, по лемме о параллельных, прямая тоже пересекала бы эту 
плоскость, а вслед за ней и прямая по той же лемме. Но лежит в плоскости, 
а не пересекает ее. Следовательно, не пересекает плоскость . А так как она 
имеет с ней общую точку , значит, она лежит в плоскости . 
Итак, прямые и лежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? 
Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две 
прямые, обе параллельные , что невозможно. Следовательно, они не 
пересекаются, а значит, параллельны. 
Доказано. 
Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности 
прямой и плоскости.