«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

2-teorema. Faraz qilaylik, ( ) , to’plam yopiq va biror uchun,
( ) (2)
bo’sh bo’lmagan, chegaralangan to’plam bo’lsin. U holda 1-teoremaning tasdiqlari o’z kuchida qoladi ((2) ko’rinishdagi to’plamlarga funksiyaning sath (yoki Lebeg) to’plamlari deyiladi).
I s b o t i. (2) to’plamlarning aniqlanishidan ko’rinib turibdiki, agar biror uchun bo’sh bo’lmasa, ( ) bo’ladi. shuning uchun, (1) masala yechimining mavjudligi
(3)
masala yechimining mavjudligiga keltiradi.
Shartga ko’ra, bo’sh emas va chegaralangan. Demak, bu to’plamning yopiqligini ko’rsatsak, (3) masalaga 1-teoremani qo’llab, talab qilingan isbotga ega bo’lamiz.
bo’lsin, ya’ni .
Buyerdan, funksiyaning quyidan yarim uzluksizligiga ko’ra, , ya’ni ga ega bo’lamiz. Demak - yopiq to’plam ( ning yopiqligi ham shunga o’xshash ko’rsatiladi). 
4-m i s o l. .
Bu masalada . to’plamni quramiz .

, ya’ni chegaralangan va yopiq to’plamdir. 2- teoremaga asosan, berilgan masalaning yechimi mavjud.
Quyida va to’plamlarning chegaralanganligini ta’minlovchi shartni keltiramiz.
1- l e m m a. Agar shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma – ketlik uchun, bo’lsa, har bir , uchun , ( ) – bo’sh bo’lmagan va chegaralangan to’plam bo’ladi.
I s b o t i. Isbotni to’plam uchun keltiramiz. uchun shunga o’xshash isbotlanadi.
uchun to’plamning bo’sh emasligi ravshan. Faraz qilaylik, chegaralanmagan bo’lsin. U vaqtda shunday ketma –ketlik mavjudki, . Lemmaning shartiga ko’ra, . Ammo, munosabatdan bo’lishi kelib chiqadi. Olingan qarama – qarshilik lemmani isbotlaydi. 
5- m i s o l. . (5)
to’plamda
(6)
munosabat bajariladi, bu yerda

chunki uning ketma – ket bosh minorlari musbat:

2-lemmani qo’llab, (6) dan ga eag bo’lamiz. U holda 1-lemma va 2-teoremaga asosan, (5) masalaning yechimi mavjud.

Asosiy adabiyotlar
Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988.
Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989.
Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998.
Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988
Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I-кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II-кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001