«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

3-teorema. funksiya to’plamda aniqlangan , da monoton o’suvchi funksiya bo’lsin. U holda, (1) masala masalaga teng kuchli, ya’ni ( ) va
(5)
bo’ladi.
I s b o t i. Isbotni minimum uchun keltirish bilan cheklanamiz. bo’lsin, ya’ni U vaqtda funksiyaning monoton o’suvchiligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak, va . , ya’ni bo’lsin. funksiyaning monoton o’suvchiligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak . Shunday qilib, . Xuddi shunga o’xshash, tenglikning o’rinli ekanligini ham ko’rsatish qiyin emas. 
I z o h l a r. a) Agar bo’lsa va ( ) deb tushunilsa, (5) da belgisini belgisi bilan almashtirish mumkin. Haqiqatdan ham, agar - monoton kamayuvchi ketma – ketlik bo’lsa, uchun shunday nomer topiladiki, bo’ladi. funksiyaning monoton o’suvchiligini hisobga olsak, yoki da limitga o’tsak, munosabatni olamiz. Bu yerdan,
. (6)
minimallashtiruvchi ketma – ketlik bo’lsin, ya’ni . U vaqtda, Bu yerdan ,
. (7)
(6) va (7) dan, bo’lishi kelib chiqadi.
b) Agar ( ) bo’lib, . ( ) ya’ni funksiyaning da global minimum (global maksimum) ga ega bo’lmasa, (5) da belgisini bilan almashtirib bo’lmaydi. Buni quyidagi misol tasdiqlaydi.
2 - m i s o l. bo’lsin. Demak,

d) Umuman olganda, (5) o’rniga hamma vaqt, ( ) tengsizlik o’rinlidir. Haqiqatan ham, bo’lgan holda esa, (6) munosabatning bajarilishi yuqorida ko’rsatilgan edi. bo’lgan holda esa, (6) munosabat , funksiyaning monoton o’suvchiligidan va dan kelib chiqadi.
4-teorema. funksiya to’plamda aniqlangan da monoton kamayuvchi funksiya bo’lsin. U holda, (1) masala masalaga teng kuchlidir, ya’ni ( , ) ( ).
Bu teoremadan kelib chiqadiki, masala - masalaga teng kuchli bo’ladi, ya’ni va .