«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

4. Сhekli o’lchovli ekstremal masalalarning ba’zi umumiy xossalari.

Chekli o’lchovli

(1)
ekstremal masalani qaraymiz. Ushbu
(2)
belgilashlarni kiritamiz.
funksiyaning to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtalari to’plamini ( ) orqali belgilaymiz. Global va lokal ekstremum nuqtalarining ta’riflariga asosan (1-ma’ruzaga qarang),
(3)
munosabatlar o’rinlidir.
Agar global ekstremum mavjud va barcha lokal ekstremum nuqtalari aniqlangan bo’lsa, (1) masalaning global yechimi ni ( ) shartni topamiz.
Keltirilgan bu tasdiq quyidagi teoremaning va (3) munosabatning natijasidir.
1-teorema. ( ) va ( , bo’lsin. U holda ( ) ( ) bo’ladi.
I s b o t i. Isbotni minimum uchun olib boramiz (maksimum uchun shunga o’xshash isbotlanadi). va bo’lganligidan, tenglik bajariladi. munosabatni hisobga olib, uchun ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib,
(4)
Bu yerdan kelib chiqadi. (4) dan munosabatni olamiz. bo’lsin. U holda, . ekanligini hisobga olib, bu yerdan bo’lishini olamiz. Shunday qilib, .
Bundan keyin, funksiyaning shartsiz global (lokal) ekstremumi deganda, shartsiz ekstremum masalasining global (lokal) yechimlarini tushunamiz.
to’plamlarning va funksiyaning shartsiz ekstremum nuqtalarining aniqlanishidan quyidagi teoremaga ega bo’lamiz.
2-teorema. - da aniqlangan funksiya, bo’lsin. U holda:

1. 
   agar bo’lsa, ( ) bo’lishi uchun, ning shartsiz lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi bo’lishi zarur va yetarlidir (bu tasdiqning yetarlilik qismi uchun shart kifoya);
   
2. 
   agar funksiyaning shartsiz lokal minimum (lokal maksimum) nuqtalari ga tegishli emas yoki bunday nuqtalar umuman mavjud bo’lmasa, ( ) bo’ladi, bu yerda - to’plamning chegarasi;
   
3. 
   agar ning shartsiz global minimum (global maksimum) nuqtasi bo’lib, bo’lsa, ( ) bo’ladi.
   

1- m i s o l. masalani qaraymiz. Unga mos keluvchi shartsiz ekstremum masalasining yechimi . Shuning uchun, qaralayotgan masalaning yechimidir (2-teoremaning 3-tasdig’iga qarang).