Вычисление ранга матрицы с использованием эквивалентных перестановок

Нахождение ранг матрицы с методом Гаусса-Жордана (с помощью элементарных преобразований)
Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.
Элементарные преобразования:

• 
  путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
  
• 
  путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;
  

Определение
Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).
путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.
Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

• 
  в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
  
• 
  в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;
  

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.
Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу, чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.
Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.
Проиллюстрируем этот процесс:

• 
  для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:
  

или

• 
  для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк кото­рых меньше числа столбцов:
  

или

• 
  для квадратных матриц А порядка n на n:
  

или