Viii-боб. Комбинаторика. Э тимоллар назарияси элементлари

8.2-§. НРЮТОН БИНОМИ


1. Факат иккинчи уадлари билан фарк киладиган би
купайтмаси. Одатдагича купайтириш билан шуларни топамиз:
(x+a)(x+b)=x2+ax+ab=x²+(a+b)x+ab;
(x+a)(x+b)(x+c)=[x²+(a+b)x+ab](x+c)=


нинг


x+(a+b+c)x+(ab+ac+bc)x+abc.
Шунга ухшаш яна цуйидагини топа оламиз:
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x⁴+(a+b+c+d)x³+(ab+
+ac+ad+bc+bd++cd)x²+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd.
Купайтмаларга диццат билан цар
цонунга асосланиб тузилганликларини кур
Купайтма x нинг даражал
жойлашган купхадни ташкил цил
Биринчи хаднинг курс
кейинги хадларга x нинг ку
хадда x булмайди (x нол
Биринчи хадни
купайтувчи биномл
коэффициенти и
йиьиндиси; ту
олинган купайтмаларининг йиьиндиси. Охирги хад барча
хадларни купайтмасидан иборат.
Б н хар цандай сондаги биномлар купайтмасига хам цулланиш
нлигини исбот циламиз. Бунинг учун олдин, агар у m та бином


/ларнинг хаммаси бир хил
из, яони:
айишига цараб тартиб билан


чи купайтувчи биномлар сонига тенг;
аткичлари 1 тадан камайиб боради; охирги
аражада булади).
ициенти 1; иккинчи хаднинг коэффициенти
ккинчи хадларининг йиьиндиси; учинчи хаднинг
хадларнинг иккиталаб олинган купайтмаларнинг
чи хаднинг коэффициенти иккинчи хадларнинг учталаб
иккинчи


мум


(x+a)(x+b)(x+c).. .(x+k)
учун туьри булса, у холда (m+1) та бином купайтмаси (x+a)(x+b)(x+c).. .(x+k)(x+l) учун хам туьри булишига ишонч хосил циламиз.
Демак, цуйидаги тенгликни туьри деб фараз циламиз:
(x+a)(x+b)(x+c)...(x+k)=x^m+Six^m1+S2x^m-2+...+Sm бунда цисцача ифода цилиш учун шундай фараз циламиз:
Si=a+b+c+...+i+k;
S2=ab+ac+.. .+ik;


@MATEMATIKA_VARIANT




@matematika_variant
S3=abc+abd+...;


Sm=abc...ik.
Туьри деб фараз килинган тенгликнинг иккала томонини x+l биномга купайтирамиз:


(x+a)(x+b)...(x+k)(x+l)=
=( x^m+Six^m-¹+S2x^m-²+...+Sm)(x+l)=
x^m+1+Six^m+S2x^m-1+...+Smx+ lx^m+lSix^m-1+S2x^m-2+...+lSm=
= x^m+1+(S1+l)x^m+(S2+lS1)x^m-1+... +(Sm+lSm-1)x+lSm.
Бу янги купайтмага караб, унинг m та бином учун туьри де
конунга буйсунишига ишонч хосил кила оламиз. Хдкикатан, би
нинг курсаткичлари шу конунга буйсунади; иккинчидан, к
хам шунга буйсунади, чунки иккинчи соннинг S1+
купайтувчи биномлар иккинчи хадларининг (l хам шунга
йиьиндиси; учинчи хад коэффициенти S2+lS1, барча
(бунга l хам кирган холда) иккиталаб олинга
йиьиндисидан иборат ва шунга ухшаш; нихоят,
хадларнинг abc...ik купайтмасидан иборат. ^Г
Бу конун икки, уч ва турт бином учун туьри эканини куриб утдик;
яoни бешта бином купайтмаси
а бином купайтмаси учун туьри
чун хам туьри булади ва хоказо.
математик индукция усули деб
и, бу китобнинг утган параграфларида m
бот килиш имконияти бир неча марта
атик индукция усули баён килинган


ан, x
ентлар
ициенти
ан холдаги)
и хадларнинг
пайтмаларининг
m барча иккинчи


демак, хозирги исбот килинганига кура, у
учун хам туьри булиши керак; агар у бе
булса, 5+1, яони олтита бином купай
Баён килинган мухокама
айтилади. Шуни эслаб утиш к
дан m+1 га утиш усули б
учраган эди. (Масала
параграфда).
2. Нрютон би


рмуласи. Биз исбот килган ушбу:
b)...(x+k)= x^m+Six^m-1+S2x^m-2+...+Sm
нг барча иккинчи хадлари бир хил, яони a=b=c=...=k деб
лда чап томон биномнинг (x+a)^m даражаси булади. S1, S2,
щентларнинг нимага айланишларини караймиз.
.+k га тенг булган S1 коэффициент ma га айланади.
... га тенг булган S2 коэффициент, m та элементдан 2 тадан канча
зиш мумкин булса, шунча марта такрорланган а² сонига, яони
1) 2
а
1 • 2
элементда 3


тенгликда бин
фараз киламиз
..., Sm коэфф


+b


ab+ac+
гр


га айланади, abc+abd+... га тенг булган S3 коэффициент m та


такрорланган


тадан канча группа тузиш мумкин булса, шунча марта
_? m(m -1)(m - 2) ₃
а³ сонига, яони . а га айланади ва шунга


1 • 2 • 3
ухшаш. Нихоят, abc...k га тенг булган Sm коэффициент а^т га айланади.
Шундай килиб, куйидаги тенгликни хосил киламиз:


@MATEMATIKA_VARIANT




@matematika_variant
(x + a)" = x + max-1 + ^{m(m —1)} _a.x . + ^{m(m —1)(m — 2)} _a.x^3 +


m— 2


m— 3


1 • 2 • 3


1 • 2
+."₊ Щ( ^{m — 1})...[^{m — ( П — 1)]} _an_xm—n ₊ ..._+ат


1 • 2 • 3... n
Бу тенглик Нрютон биномининг формуласи номи билан маолум.
Формуланинг унг томонида турувчи купхад бином ёйилмаси деб аталади. Бу
купхаднинг хусусиятларини куриб чихамиз.
3. Нрютон биноми формуласининг хоссалари. Бу хоссалардан 10
тасини курсатамиз:

1. 
   х нинг курсаткичлари биринчи хаддан охирги хадга х
   

камайиб боради, биринчи хадда х нинг курсаткичи бином дар
курсаткичига тенг, охирги хадда эса 0 дир; аксинча а нинг ку
биринчи хаддан охирги хадга хараб, 1 тадан ортиб бор
нинг курсаткичи 0, охирги хадда бином даражасини
Бунинг натижасида хар хайси хадда х билан а даги курсаткичлар йиьиндиси
хамма вахт бир хил булиб, бином даражасининг курсаткичига тенгдир.

2. 
   Ёйилманинг хамма хадлари сони m+1, чунки ёйилмада а нинг 0 дан
   

m гача барча даражалари бор.

3. 
   Коэффициентлар хуйидагиларга
   

иккинчи хадда — бином даражасининг
элементдан 2 тадан группалаш со
тадан группалаш сонига, умуман
тадан группалаш сонига тенг.
элементни m тадан группалаш
Бу коэффициентларни
аталади.

4. 
   Ёйилмани
   

урнининг номе
белгилаб, яони


тадан
сининг
ткичлари
нчи хадда а
аткичига тенг.


: биринчи хадда — бирга,
аткичига, учинчи хадда m та
; туртинчи хадда m та элементни 3
коэффициенти m та элементдан n
хоят, охирги хад коэффициенти m та
онига, яони 1 га тенг.
хаммаси биномиал коэффици-ентлар деб


бир хадини, тагига шу хаднинг ёйилмадаги
г курсатувчи рахамлар хуйилган Т харфи билан
инчи хади Т1 иккинчи хади Т2 ва х.х., шуни ёза оламиз:
т -Г»»,»-n _ ^m(m - l)--t^m - ⁽ⁿ - 1)1 _m_„
^Tn+1 '"si ^X _л _ ~ ^{а X}
1 • 2 • 3...n
ула ёйилманинг умумий хадини ифода хилади, чунки биз
нига 1, 2, 3, ..., m сонларини хуйиб (биринчидан бошха), барча
хосил хила оламиз.
Ёйилманинг бошидан биринчи хаднинг коэффициенти 1 га тенг;
охирдан биринчи хад коэффициенти хам 1 га тенг. Бошда иккинчи хаднинг
коэффициенти m, яони С'_т; охирдан иккинчи хад коэффициенти С^~¹; аммо
С'_т ⁼ C',m ' булгани учун бу коэффициентлар хар бир хил булади. Бошдан
учинчи хаднинг коэффициенти С²_т ва охирдан учинчи хадники С^~²; аммо
С2 = С^~² булгани учун бу коэффициентлар хам бир хил булади ва хоказо.
Демак,


унд
X


@MATEMATIKA_VARIANT




@matematika_variant


Ёйилманинг четларидан тенг узокликда турган уадларнинг
коэффициентлари узаро тенг.
6) Куйидаги биномиал коэффициентларга царасак,
_л m(m -1) m(m -1)(m - 2) m(m -1)(m - 2)(m - 3)
1, m,


1 • 2 1 • 2 • 3 1 • 2 • 3 • 4
бир коэффициентдан иккинчисига утишда сурат борган сари камаядиган (m-1
га, m-2 га, m-3 га ва хоказо) сонларга купайтирилишини курамиз. Бунинг
натижасида коэффициентлар олдин орта боради (суратдаги купайтувчилар
махраждаги мос купайтувчилардан катта булган вацтда), сунгр;
боради. Ёйилманинг четларидан тенг узокдикда турган коэффицие
булганликдан, энг катта коэффициент ёйилманинг уртасида бу
Шу билан бирга агар ёйилма барча хддларининг сони тоц булс
курсаткичининг жуфтлигида булади), уртада энг катта коэ
бир х,ад булади; агар барча хддлар сони жуфт бу
курсаткичининг тоцлигида булади), уртада энг катта бир
иккихдд булиши керак. Масалан: