X. K. Sarimsakova ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

.  (Bosh  to'plamlar  dispersiyalari  ma’lum  bo'lgan  holda 
bosh  to'plamlar  o'rtachalari  haqidagi  gipotezani  tekshirish.)
Shakar  ishlab  chiqaruvchi  korxona  shakarni  1  kgdan  qadoqlovchi 
ikki  ta  uskunaga  ega  ( a j   =
0 2
)-  K o'p  yillik  kuzatishlar  natijasida 
boshqaruvchi  bu  ikki  uskuna  uchun  standart  chetlashishi  (bosh 
to'plam ning  o'rtach a  kvadratik  chetlashishi)  ni  baholagan:  1  uskuna 
uchun  0,02kg f a  у )  va  2  uskuna  uchun  0,04  kg
^ 2  ) ■ Birinchi  usku- 
nada  qadoqlangan  n, =  10  qopcha  tanlanib  ulardagi  shakaming  o'rtacha 
massasi  xj  =1,018  kg  ga  tengligi  topildi.  Ikkinchi  uskuna  uchun  xuddi 
shunday  hajmi  n2=12  teng tanlanma  olinib,  o'rtacha  massa  x2  = 0,989kg 
ekanligi  aniqlandi.  Bu  ikki  uskunada  qadoqlanayotgan  shakarning 
o'rtacha  massalari  xar  xil  deyishimizga  asos  bormi?
Yechish:
  N olinchi  gipoteza ikkala tanlanm a bir  xil  o'rtachaga ega 
bo'lgan  bosh  to'plam lardan  olingan  degan  taxmindan  iborat
H 0  :  a}  = a2\
//,  :  ax  Ф a
N t  alternativ  gipotezaning  tanlab  olinishiga ko'ra  ikki  yoqlama 
test  tekshirishimiz  kerak.  Ishonchlilik  darajasi  l%ga  teng  bo'lsin.  Z 
statistikani  hisoblaymiz:

2  
( * i   ~  ^ 2 )  ~  ( a i  ~  а 2 )   _   ( U O 1 8  — 0 , 9 8 9 ) — О
lo,Q22
  |  0 , 0 4 Г
\   п, 
пг 
V  Ю  + 
12
Ilovada  keltirilgan  Laplasning  integral  funktsiyasi  F(x)  qiym at­
lari  berilgan  4-jadvaldan  2
  tenglikni,  ya’ni  {Zk) = 
0 ,4 9 5  
tenglikni  qanoatlantiruvchi  Z   uchun  kritik  qiymat  Z k  aniqlaymiz: 
Z k =2,584.
- Z k 
< 
Z 
< 
Zk
 
tengsizlik  o'rinli  bo'lgani  tufayli  nolinchi  gipoteza 
N n  qabul  qilinadi  vaalternativ  gipoteza  N t  inkor  etiladi.Xulosaqilib 
aytganda,  99%  ishonch  bilan  ta ’kidlashimiz  mumkinki:ikki  uskun- 
ada  qadoqlanayotgan  shakarning  o'rtacha  massalari  bir  xil.
6-masala.  (Bosh  to'plamlar  dispersiyalari  noma’lum  bo'lgan  hol­
da  bosh  to'plamlar  o'rtachalari  haqidagi  gipotezani  tekshirish.)
Ishlab  chiqarilayotgan  sariyog'ning  sifatini  tekshirish  m aqsadida 
ishlab  chiqarilgan  ikki  partiyaning  har  biridan  10  donadan  olinib, 
har  bir  tanlanm a  uchun  undagi  suvning  ulushi  (%da)  hisoblandi.
Birinchi  partiya  uchun  o'rtacha  foiz  x,  =68,2%  va  stan d art'ch etla­
shish 
= 0,70% ,  ikkinchi  partiya  uchun  esa 
3c,  = 67,0%  va
s2  = 0,74%  ga  teng  ekan.  Bu  ikki  partiyadagi  sariyog'  xar  xil  suv 
ulushiga  ega  degan  taxminga  asos  bormi
Yechish:  N olinchi  gipoteza:  bu  ikki  tanlanm a o'rtachalari  o'zaro 
teng  bo'lgan  ikki  norm al  bosh  to'plam dan  olingan:
H 
о  .  Cl j 
= 
Cl 
2
,
H
|  .  £
7
, 
7
-   £
7
->
N j  alternativ  gipotezaning  tanlab  olinishigako'raikkiyoqlam atest 
tekshirishimiz  kerak.
Bosh  to 'p lam lar  dispersiyalari  n o ’malum  bo'lgani  uchun,  bosh 
to'plam lar  dispersiyalari  tengligi  haqidagi  F  testni  tekshirishimiz 
kerak. Ya’ni  gipotezalarni  quyidagicha aniqlaymiz:
#0  :  ^1  = ^2 ’
TT 
~>
 
1
# ,  :  erf 
*
 cr;.

5%  ishonchlilik  darajasi  bilan  ikkiyoqlama  test  tekshiramiz.  T an ­
lanm alar  dispersiyalarini  hisoblaymiz:
CT 2  = 
■
 s,2  = —  ■
 0 ,702  = 0,544.
1  ■
  и ,- 1  
1 
9
a 2  = 
• s*  = —  • 0,74
2  = 0.608 
n2 - 1 
" 
9
F  statistikani  aniqlaymiz.  a 2  >&\  bo'lgani  uchun  :
(  katta  tanlanma  dispersiya  )  _  a ; 
0,544  _ j  p  
(kichik  tanlanma  dispeniya) 
07 
0,608
Ilovada  keltirilgan  Fisher  taqsimotining  kritik  qiymatlari  berilgan
8-jadvaldan  F  uchun  kritik  qiymat  aniqlanadi:
Fk  = F ( a  / 2; w,  -1 ; n2  - 1 )  =  F(0.05;9;9) = 4,026.
Fk  >  F   tengsizlik o'rinli  bo'lganligi  uchun  nolinchi  gipoteza N a
qabul  qilinadi  vaalternativ  gipoteza  7V;  inkor  etiladi..
5%  ishonch  bilan  xulosa  qilish  mumkinki:  dispersiyalar  orasid­
agi  farq  ahamiyatga  loyiq  emas  va  bosh  to'plam lar  dispersiyalari 
o'zaro  teng  deb  olish  mumkin.
T   statistikaning  qiymatini  hisoblaymiz: 
r  
( * ■ - * :) - ( * ,- "
2) 
(68,2-67,0)-0
)( / y f + / y :: )  ( 
1  1  I  ) 
| (l 0-0,70' + 10  0,74: ) 
1  ,  Г~
n.  + fu -  2
U 0  
10
Ilovada  keltirilgan  Styudent  taqsim otining  kritik  qiymatlari  be­
rilgan  7-jadvaldan  T   uchun  kritik  qiymat  aniqlanadi:
Tk  = t(a   / 2 ;и,  + и,  -  2) = /(0,025;1
8) = 2,10.
Tk  < T   tengsizlik o ‘rinli  bo‘lganligi  uchun  nolinchi  gipoteza N 0
inkor  etilib,  alternativ  gi poteza N t  qabul  qilinadi.
Xulosa:  Bu  ikki  partiyadagi  sariyog‘  tarkibidagi  suv  ulushi  har  xil.
7-masala.
  (Bosh  to‘pIamlar  ulushlari  haqidagi  gipotezani  tek­
shirish.)
Katta  kompaniyaning  ichki  auditorlari  darom ad  hisoblarining 
qayd  qilish  sistemasini  tahlil  qilishmoqda.  U lar  tasodifiy  ravishda 
/
7,  = 50  ta  qayd  qilingan  hisoblarni  tanlab  olib  ularni  o ‘rganib  chi-

qishdi.  U lardan  to'rttasi  noto'g'ri  to'ldirilgan  ekan.  So'ng  auditorlar 
ikkinchi  hajmi  n -> = 60  teng  tanlanm a  olib,  unda  uchta  n o to 'g 'ri 
to'ldirilgan  hisob  aniqlashibdi.  X izm atchilar  xatolarga  kam roq  yo'l 
qo'ya  boshlashdi  degan  xulosaga  asos  bormi?
Yechish:  N olinchi  gipoteza:  bu  ikki  tanlanm a  bir  xil  xatolar 
ulushilariga  ega  bo'lgan  bosh  binom ial  to'plam lardan  olingan:
t f 0 :  P = P | = P 2;
H \
  : 
P i > P 2’
M asala  shartiga  k o ‘ra  x atolar  ulushi  kam aygan  degan  tax m in  
tekshirilm oqda,  shuning  uchun  bir  yoqlam a  test  tekshiriladi.  Ish o n c h ­
lilik  darajasi  5%  b o ‘lsin.  T a n lan m a la r  ulushlarini  hisoblaym iz:
4 
3 
p.  = —  = 0,08  va  p,  = —  = 0,05 
' 
50 
2 
60
Z   statistika  qiym atini  hisoblaym iz:
z  = 
( P .- P ib f o .- P ;)  
= _______(0.08-0,05)-0_______=  0.03  = Q 63Q?
Ip i(l-p i)  p2( \ - p :) 
10.08 • (l -  0.08)  0.05 • (l -  0.05) 
0.0476
\  
n, 
+ 
n, 
V 
50 
+ 
60
Ilovada  keltirilgan  Laplasning  integral  funktsiyasi  F(x)  qiym atlari 
berilgan  4-jadvaldan  2(Zt.) = 1- 2a  tenglikni,  ya’ni 
(Zk) = 0.45  ten g ­
likni  qanoatlantiruvchi  Z   uchun  kritik  qiymat 
Z k  aniqlaymiz:  Z,  = 1,645.
Zk >Z  tengsizlik  o ‘rinli  b o ‘lgani  tufayli  nolinchi  g ip o te z a   N 0 
qabul  q ilinad i  v aaltern ativ   g ip o te z a   Nj   inkor  e tila d i.X u lo sa   qilib 
aytganda,  95%  ishonch  bilan  t a ’kidlashim iz  m um kinki:  h isoblarni 
qayd  qilishda  y o ‘l  q o ‘yiladigan  xatolar  soni  kam aym agan.
8-masala.  (Taqsimot  qonuni  haqidagi  gipotezani  tekshirish.)
M ikroskop  ostida  yupqa  oltin  eritm asi  qoplam i  k u zatilm o q d a. 
Bir  xil  vaqt  o raliqlarida  m ikroskop  oynasi  ostiga  kuzatilgan  o ltin  
zarralari  qayd  qilindi.  K uzatishlar  natijasida  quyidagi  em p irik   ta q s i­
m ot  hosil  qilindi:
X i
0
1
2
3
4
5
6
7
v  i
112
168
130
68
32
5
1
1
Birinchi  satrda  lotin  zarrachalari  soni  Xt,  ikkinchi  satrda  esa  n. 
chastota,  ya’ni  Xi  ta  oltin  zarrachasi  kuzatilgan  vaqt  intervallari 
soni;.  n = 2 > f  = 5 1 7 -tanlanm a  hajmi.  %г -kriteriysidan  foydalanib, 
a = 0.05  ishonchlilik  darajasi  bilan  oltin  zarrachalari  soni  Puasson 
taqsimotiga  ega  ekanligini  tekshiring.

Yechish:  Nolinchi  gipoteza N 0:  ctatistik taqsimoti  orqali  berilgan 
tanlanm a  Puasson  taqsimotiga  ega  bo'lgan  tasodifiy  miqdorga  mos 
keladi.  Tanlanm aning  o'rtachasini  topamiz:
X  = —  (112  0 +168-1 + 130 -2 + 68-3 + 32-4 + 5-5 + l-6  + l- 7 H l,5 4  
157
Puasson  taqsimoti  Д  parametrining  bahosi  д   sifatida  ta n lan ­
maning  o ‘rtachasini  olamiz:  Л  =  1,54 •  D emak,  Puasson  taqsim oti 
quyidagi  ko'rinishga  ega:
, _ Л к -е-л _ \ , 5 4 к - е- иА 
k\ 
~ 
k\
X  = 
Я 
= 1,54  p a ra m e trli  P u asso n   ta q sim o ti  o 'r in li  d e b , 
mikroskop  ostida  kuzatiladigan  zarrachalar  soni  uchun  nazariy 
ehtimolliklami  hisoblaymiz:
A   = />{x = 0} = 0.2144; 
p 4  = 
p { x  
= 4} = 0,0502;
p x  =  P { X  = l}= 0,3301; 
p 5  = 
= 5} = 0,0155;
p 2  = p { x
  =  
2} 
=  
0.2542; 
p 6  = 
P { X  
=  
6} 
=  
0,0040; 
p.  = p { x  =
 
3} 
=  
0,1305; 
p n
  =  
P { X  
= 
l }  
=
 
0,0009.
Kichik  qiymatli  chastotalarni  (5+1 + 1= 7)  va  ularga  mos  kelgan 
nazariy  ehtim ollarni  birlashtiramiz:
(0,0155+0,0040+0,0009=0,0204).
Birlashtirish  natijasida  quyidagi  jadvalni  hosil  qilamiz:
X i
0
1
2
3
4
5
V  i
112
168
130
68
32
7
p  i
0,2144
0,3301
0,2542
0,1305
0,0502
0,0204
“xi-k v adrat”  statistikaning  qiym atini  hisoblaym iz:
np,
2
V.
np,
-  
n
  =  
2,8
/=0 
"H, 
/=0
Ilovada  keltirilgan  j 2 -taqsim otining  kritik  qiym atlari  berilgan  9- 
jadvaldan 
or = 0,05 
va  erkinlik  darajasi  £ 
=  m -
1 -  с/ 
=  
8 
— 
1 
— 
1 
=  
6 g a 
m os  kelgan  k ritik   q iy m a tn i  a n iq la y m iz :  %~aM  = 1 2 ,6 .  C o 'n g r a  
2,8 =  / ^   < Хам  = 1 2 ,6   tengsizlik bajarilgani  uch u n   nolinchi  g ip o te ­
zani  inkor  etishim izga  asos  y o 'q   degan  xulosaga  kelam iz
Xulosa:  M ikroskop  ostida  kuzatiladigan  zarrachalar  soni  P u a s­
son  taqsim otiga  ega  degan  tax m in n i  ink o r  etishga  asosim iz  yo4q.

9-masala. 
(Bosh  to'plamning  normal  taqsimlanganligi  haqidagi 
gipotezani  tekshirish.)
Interval
nomeri
Interval
chegaralari
Chastota
i
Xi
xM
Hi
1
3
8
6
2
8
13
X
3
13
18
15
4
18
23
40
5
23
28
16
6
28
33
8
7
33
38
7
M
11
о о
-kriteriysidan  foydalanib,  or = 0,05  ishonchlilik  darajasi  bilan 
hajmi  л = 100  ga  teng  b o ‘lgan  tan lan m a  norm al  taqsim langan  bosh 
to 'p la m d an   olinganligini  tekshiring.
, 
X,  +  x , +l
Yechish:  Xususiy  intervallam ing  o ‘rtalarini  topam iz: 
x,  —---- ~ 
;
*
X/  variantaning  chastotasi  sifatida  i  —  xususiy  intervalga  tushgan
variantalar so nin i  olam iz  va  natijada  quyidagi  statistik  taqsim ot  hosil 
qilamiz:
x* 
5.5  10,5  15,5  20,5  25,5  30,5  35,5 
n,
 
6 
8 
15 
40 
16 
8 
7
Bu  statistik  taq sim o t  u ch u n  o 'rta c h a   va  o 'rta c h a   kvad ratik -ch et- 
lashish  qiym atlarini  hisoblaym iz:
x '   = - £
jr*  • П,  = 
20,7; 
CT* 
=  J -  J
-я,  - ( x * - x 'f   = 
7,28. 
n ,=\
 
V 
n
  м
X  m iqdorni  standartlash tiram iz,  ya’ni  yangi  Z   o ‘zgaruvchiga 
_ 
X - x
o ‘tam iz  Z  = — — —   va  interval  chegaralarini  aniqlaym iz:
O ’
_  
_ x ,+\ - x 
-/  -  "   _* 
va 
- ,+l  -   — ц ;— .
(7 
( J
Z j   = - o o  
va 
z m 
= 0 0
 
deb  qabul  qilam iz.

So‘ngra  p,  = Ф(1, ^)-Ф(-,)  tenglikdan  foydalanib,  X   m iqdor  u chun 
(
a
'; ;.
y
/+i ) 
intervalga  tushishining  nazariy  ehtim ollarini  xisooblaym iz. 
Eslatib  o ‘tam iz,  bunda  F(z)  Laplasning  integral  funktsiyasi  b o ‘lib, 
uning  qiym atlari  llovaning  4-jadvalida  keltirilgan.  Misol  uchun:
A
=   P{.Y,  <  
Л' < 
.Y ,
} =  P{z,  <  Z < z : } = Ф(--: ) -  Ф(г,) = Ф
л\  -  л*
- ф ( - х )  =
=  ф ( х ) + ф
8-2 0 ,7
7,28
= 0,5 + Ф ( - 1,74) = 0.5 -  Ф(1,74) = 0.5 -  0,4591 = 0.0409.
X uddi  shunday  usulda  qolgan  nazariy  ehtim olliklar  hisoblanadi. 
H isob  natijalar  yordam ida  quyidagi  jadvalni  t o ‘ldiram iz:
Interval
i
chegara lari
F 
( 
z  j
)
F 
( 
z 
i+ ,  )
Pi  =  
F 
( 
z  j 
) 
-  F 
( 
z 
i + ,  )
z ,
z iQI
1
-00
-1,74
-0,5
-0,4591
0,0409
2
-1,74
-1,06
-0,4591
-0,3554
0,1037
3
-1,06
-0.37
-0,3554
-0,1443
0,2111
4
-0,37
0,32
-0,1443
0,1255
0,2698
5
0,32
1,00
0,1255
0,3413
0,2158
6
1,00
1,69
0,3413
0,4545
0,1132
7
1,69
OO
0,4545
0,5
0,0455
Z
a
 
=1
m  (м 
V 
m
*p ,
(   2  Л 
Yl.
/=1
/=1
n  statistikaning  qiym atini  hisob­
lash  u ch u n   quyidagi  jadvalni  t o ‘ldiram iz:
i
Pi
npj=100pi
ni
iij  -  npi
(nr-  npO2
(nt  - n Piy
np,
1
0,0409
4,09
6
1,91
3,648
0,89
2
0,1037
10,37
8
-2,37
5,617
0,54
’  3
0,2111
21,11
15
-6,11
37,332
1,77
4
0,2698
26,98
40
13,02
169,52
6,28
5
0,2158
21,58
16
-5,58
31,136
1,44
6
0,1132
11,32
8
-3,32
11,02
0,97
7
0,0455
4,55
7
2,45
6,002
1,32
1 л  =1
M
S
и
о о
•'n
ll

N ormal  taqsim ot  ikkita  (a,o2)  param etrga  ega  bo‘lganligi  uchun 
d   = 2  va  erkinlik  darajasi  k = m - l - d  = 7 - l - 2  = 4.  Ilovada  keltirilgan 
%2 -taqsim otining  kritik  qiymatlari  berilgan  9-jadvaldan  a = 0,05  va 
erkinlik  darajasi  k = 4  ga  mos  kelgan  kritik  qiymatni  aniqlaym iz
Xljc
  =   * 0 .0 5 .4   =   7 Д
%l > Xak  tengsizlik  o'rinli  b o ‘lgani  uchun  95%  ishonch  bilan 
nolinchi  g ip o te z a N 0 ni  inkor  etamiz.
Xulosa:  Tanlanm a  bosh  to'plam ning  normal  taqsimlanganligi 
haqidagi  gipotezani  qanoatlantirm aydi.
Mustahkamlash  uchun  masalalar
1.  (Bosh  to'plam   dispersiyasi  m a’lum  bo'lganda  bosh  to 'p lam  
o'rtachasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish). Ipni  g 'altakk ao'rab   beru­
vchi  uskuna  tekshirilmoqda.  O 'ram larning  o'rtacha  soni  500  teng 
bo'lishi  kerak.  G 'altaklar  partiyasidan  olingan  tanlanm a  o'ram larning 
o 'rtach a  soni  502,5  ga  teng  ekanligini  ko'rsatdi.  Uskuna  to 'g 'ri  soz- 
langanmi,  degan  savolga javob  bering.  (Ishonchlilik  darajasi  a = 0,05).
2.  (Bosh  to'plam   dispersiyasi  m a’lum  bo'lganda  bosh  to 'p lam  
o'rtachasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish).  O 'rtacha  kvadratik  ch et­
lashishi  a = 2.1  ga  teng  bo'lgan  normal  bosh  to'plam dan  hajmi  n =49 
ga  teng  tanlanm a  olindi.  Tanlanm aning  o'rtachasi  x   = 4,5’  ga  teng 
ekan.Ishonchlilikdarajasi  0,05 teng  bo'lsa,  quyidagi  nolinchi  g ip o te­
zani  tekshiring:
N 0:  a= 3  va alternativ  gipoteza  н х  'ПФЪ  .
Javob:  N olinchi  gipoteza rad  etiladi.
3.  (Bosh  to'plam   dispersiyasi  nom a’lum  bo'lganda  bosh  to'plam  
o'rtachasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish).  Fabrikada  kofeni  100  gr, 
idishlarga  qadoqlash  uchun  avtomat  uskunadan  foydalanilar ekan.  Agar 
qadoqlanayotgan  idishlarning  o'rtacha  og'irligi  aniq  og'irlikdan  farq 
qilsa,  uskuna  sozlanar  ekan.  Vaqti-vaqti  bilan  qadoqlangan  kofe  idish- 
lari  ajratib  olinadi  va  ularning  o'rtacha  og'irligi  va  og'irlik  chetlashishi 
hisoblanadi.  30  dona  qadoqlangan  kofe  idishlari  og'irligini  tahlil  qilish 
natijasida  ularning  o'rtacha  og'irligi  x = 102,4  va  “tuzatilgan”  o'rtacha 
kvadratik  chetlashishi  5-= 18,540  ekanligi  aniqlandi.  Avtomat  uskunani 
sozlash  zaruriyati  bormi?  (Ishonchlilik  darajasi  a = 0,05).
4  (Bosh  to 'p lam   dispersiyasi  n o m a’lum  bo'lganda  bosh  to 'p lam  
o 'rtachasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish).  Bosh  normal  to 'p lam d an  
olingan  hajmi  n = 16  ga  teng  bo'lgan  tanlanm a  uchun  uning  o'rtachasi

..v = 12,4  va  “tuzatilgan”  o ‘rtacha  kvadratik  chetlashishi  5=1,2  topildi. 
Ishonchlilik darajasi  0,05  bo‘lganda  Nc\  0=1  1,8  nolinchi  gipotezani 
н,  и  Ф 11,8  alternativ  gipoteza boMganda tekshiring.
Javob:  Nolinchi  gipotezani  inkor  etishga asos  yo‘q.
5. (Bosh  to ‘plam  ulushi  haqidagi  gipotezani  tekshirish)  Turistik 
firma  yangi  turdagi  ekskursiya  xizmati  kiritishdan  oldin  potentsial 
mijozlar  orasida  so‘rov  o ‘tkazmoqchi.  Agar  potentsial  rnijozlarning 
35%i  bu  fikrni  q o ‘llasa,  firma  yangi  turdagi  ekskursiya  xizmati  kiritar 
ekan.  So‘rovda  120  ta  kishi  qatnashdi.  Ulardan  28%i  yangi  turdagi 
ekskursiya  xizmati  kiritilishini  m a’qulladi.  Firma  so‘rov  asosida  yangi 
turdagi  ekskursiya  xizmati  kiritishi  mumkinmi?  (Ishonchlilik  darajasi 
a -  0,05)
6 .(Bosh  to £plam  ulushi  haqidagi  gipotezani  tekshirish)  /7=1000ta 
tajribaning  548tasida  xodisa  ro‘y  berdi.  Ishonchlilik  darajasi  0,05 
b o ‘lganda 
N 0:  p=0,5 
nolinchi  gipotezani  alternativ  gipoteza 
w,  :p Ф 0,5  bo‘lganda  tekshiring.
7 .(Ikki  bosh  to ‘plam  dispersiyasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish) 
Investitsion  kompaniya  xizmatchisi  ikkita  A  va  В  investitsiya  loyiha- 
larini  tahlil  qilmoqda.  A  investitsiya  15  yil  muddatga  m o‘ljallangan 
bo‘lib,  undan  bu  vaqt  davomida  yiliga  15,6%  foyda  kutilmoqda.  В 
investitsiya  12  yil  muddatga  m o‘ljallangan  b o ‘lib,  undan  yiliga  15,6% 
foyda  kutilmoqda.  Bu  ikki  investitsiyalardan  tushadigan  yillik  foydan- 
ing  (“tuzatilgan” )  dispersiyalari  4,6  va  3,42  ga  teng.  A  va  В  inves- 
titsiyalaming  muvaffaqiyatli  boMmaslik  xavfi  (risk)  barobar  emas 
degan  xulosaga  asos  bormi?  Investitsiyalardan  tushadigan  yillik  foyda 
normal  taqsimlangan  deb  faraz  qilinadi.
8 .(Ikki  bosh  to ‘plam  dispersiyasi  haqidagi  gipotezani  tekshirish) 
X   va  Y  ikki  bosh  to ‘plamdan  10  va  16  hajmdagi  ikkita  tanlanm a 
olindi  va  ularning  “tuzatilgan”  dispersiyalari  hisoblandi:  S 2
X  = 3 .6   va 
S 2  = 2.4 •  Ishonchlilik  darajasi  a  =  0,05  b o ‘lganda  bosh  to ‘plamlar 
dispersiyasi  tengligi  haqidagi  nolinchi 
H 0  :DV = D }  gipotezani 
tekshiring.  Alternativ  gipotezani  quyidagichaaniqlang.  H x :DX  >  Dy  .
Javob:  N olinchi  gipotezani  rad  etishga asos  yo4q.
9.  (Ikki  bosh  to ‘plam  dispersiyasi  m a’lum  b o ‘lgan  holda  bosh 
to ‘plamlar 
0‘rtachalari  haqidagi  gipotezani  tekshirish).  Fabrikada 
kofeni  100  gr,  idishlarga  qadoqlash  uchun  ikki  avtomat  uskunadan 
foydalanilar  ekan.  K o ‘p  yillik  kuzatishlar  natijasida  boshqaruvghi  bu 
ikki  uskuna  uchun  standart  chetlashish  (bosh  to ‘plamning  o ‘rtacha 
kvadratik  chetlashishi)ni  baholagan:  1 -uskuna  uchun  0,02gr. (cr,)  va
2-uskuna  uchun  0,04gr. (cr2) .  Birinchi  uskunada  qadoqlangan  ^ = 3 0

dona  kofe  idishi  tanlanib  ulardagi  kofening  o'rtacha  massasi  x,  =101 
gr.  ga  tengligi  aniqlandi.  Ikkinchi  uskuna  uchun  xuddi  shunday  hajmi 
n2=25  teng  tanlanm a  olinib,  o'rtacha  massa  x 2  = 98gr.  ekanligi  an ­
iqlandi.  Bu  ikki  uskunada  qadoqlanayotgan  kofening  o'rtacha  massal- 
ari  har  xil  deyishimizga  asos  bormi?
10.  (Ikki  bosh  to'plam   dispersiyasi  m a’lum  b o £lgan  holda  bosh 
to'plam lar  o'rtachalari  haqidagi  gipotezani  tekshirish).  J   va  Y  ikki 
bosh  to'plam dan  20  va  30  hajmdagi  ikkita  tanlanm a  olindi  va  ularn­
ing  o 'rta c h a la ri  hisoblandi:  *  = 154  va  J;  = 149.  A gar  bosh 
to'plam lar  dispersiyalari  D x  = 1 20   va  Dy  = 1 0 0   m a’lum  bo'lsa.  Is­
honchlilik  darajasi  a   =  0,05  bo'lganda  bosh  to 'p lam lar  o'rtachalari 
tengligi  haqidagi  nolinchi 
H 0 ’M x  = M y  gipotezani  tekshiring. 
Alternativ  gipotezani  quyidagicha aniqlang.  H x  :M v  Ф  M y  .
11.  (Ik k i  b o s h   t o 'p l a m   d isp e rsiy a si  n o m a ’lu m   b o 'lg a n   h o ld a   b o sh  
to 'p l a m l a r   o 'r ta c h a la r i  h a q id a g i  g ip o te z a n i  te k s h iris h )   B a ta re y k a la r 
ish lab   c h iq a rish   fab rik a sid a   ik k ita   ish lab   c h iq a rish   k o n v e y e ri  o 'm a tilg a n  
e k a n .  B a ta re y k a la m in g   o 'r t a c h a   x iz m a t  v a q tin i  a n iq la s h   u c h u n   h a r  
b ir  k o n v e y e rd a n   ta n la n m a   o lin ib d i.  B irin c h i  k o n v e y e r d a n   o lin g a n  
12 
ta   b a ta re y k a   u c h u n   o 'r t a c h a   x iz m a t  v a q ti  * = 34,2  s o a t  v a  * = 5,9  so a t 
( “ tu z a tilg a n ”  o 'r t a c h a   k v a d ra tik   c h e tla s h is h )  e k a n .  I k k in c h i  k o n v e y e r­
d a n   o lin g a n   lO ta  b a ta re y k a   u c h u n   o 'r t a c h a   x iz m a t  v a q ti  x   =  2 8 7   so a t 
va 
s