Xalqaro Nordik universiteti iqtisodiyot fakulteti 1-eks-22 guruh

Xalqaro Nordik universiteti IQTISODIYOT FAKULTETI 1-EKS-22 GURUH

BAJARDI: MAXAMMATOV DONIYOR

MAVZU: BURCHAKNING YIG’INDISI FORMULASI

Trigonometriyada asosiy qo‘shish formulalari
Ta'rif 1
Qo'shish formulalari yordamida ikkita burchakning farqi yoki yig'indisining funktsiyalarini ifodalash imkonini beradi trigonometrik funktsiyalar bu burchaklar.
Sakkizta asosiy formula mavjud: yig'indining sinusi va ikki burchak ayirmasining sinusi, yig'indi va ayirmaning kosinuslari, yig'indi va ayirmaning tangenslari va kotangentlari. Quyida ularning standart formulalari va hisob-kitoblari keltirilgan.
1. Ikki burchak yig‘indisining sinusini quyidagicha olish mumkin:
Birinchi burchak sinusining ko'paytmasini ikkinchisining kosinusiga hisoblaymiz;
Birinchi burchakning kosinusini birinchi burchakning sinusiga ko'paytiring;
Olingan qiymatlarni qo'shing.
Formulaning grafik yozilishi quyidagicha ko'rinadi: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
2. Farqning sinusi deyarli bir xil tarzda hisoblanadi, faqat natijada olingan mahsulotlar qo'shilmasligi kerak, lekin bir-biridan ayiriladi. Shunday qilib, biz birinchi burchak sinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchakning kosinusining ikkinchisining sinusiga ko'paytmalarini hisoblaymiz va ularning farqini topamiz. Formula shunday yoziladi:
sin (a - b) = sin a cos b + sin a sin b.
3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun mos ravishda birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz:
cos (a + b) = cos a. cos b - sin a sin b
4. Kosinuslar farqi: berilgan burchaklarning sinuslari va kosinuslarining ko’paytmalarini avvalgidek hisoblab chiqamiz va qo’shamiz. Formula:
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
5. Yig‘indining tangensi. Bu formula kasr sifatida ifodalanadi, uning numeratorida kerakli burchaklar tangenslarining yig'indisi, maxrajda esa kerakli burchaklar tangenslarining ko'paytmasi ayiriladi. Uning grafik yozuvidan hamma narsa aniq:
t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a t g b
6. Farqning tangensi. Biz farqning qiymatlarini va bu burchaklarning tangenslari mahsulotini hisoblaymiz va ular bilan shunga o'xshash tarzda ishlaymiz. Maxrajda bittaga qo‘shamiz, aksincha emas:
t g (a - b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b.
7. Yig'indining kotangensi. Ushbu formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar uchun bizga ushbu burchaklarning kotangentlarining ko'paytmasi va yig'indisi kerak bo'lib, biz quyidagicha harakat qilamiz:
c t g (a + b) = - 1 + c t g a c t g b c t g a + c t g b.
8. Farq kotangensi . Formula avvalgisiga o'xshaydi, lekin pay va maxrajda - minus va ortiqcha emas
c t g (a - b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g b.
Ta'rif 2
Biz har qanday a va b burchaklarni olishimiz mumkin va kosinus va sinus uchun qo'shish formulalari ular uchun ishlaydi. Agar biz bu burchaklarning tangenslari va kotangenslarining qiymatlarini to'g'ri aniqlay olsak, ular uchun tangens va kotangens uchun qo'shimcha formulalar ham tegishli bo'ladi.
Algebradagi ko'pgina tushunchalar singari, qo'shish formulalari ham isbotlanishi mumkin. Biz isbotlaydigan birinchi formula - bu farq kosinus formulasi. Undan keyin qolgan dalillarni osongina chiqarib olishingiz mumkin.
Keling, asosiy tushunchalarni aniqlaylik. Bizga birlik doira kerak. Agar ma'lum bir A nuqtani olib, markaz (O nuqta) atrofida a va b burchaklarni aylantirsak, shunday bo'ladi. U holda O A 1 → va O A → 2 vektorlari orasidagi burchak (a - b) + 2 p z yoki 2 p - (a - b) + 2 p z ga teng bo'ladi (z har qanday butun son). Olingan vektorlar a - b yoki 2 p - (a - b) ga teng burchak hosil qiladi yoki bu qiymatlardan butun son bilan farq qilishi mumkin. 
Biz qisqartirish formulalaridan foydalandik va quyidagi natijalarga erishdik:
cos ((a - b) + 2 p z) = cos (a - b) cos (2 p - (a - b) + 2 p z) = cos (a - b)
Xulosa: O A 1 → va O A 2 → vektorlari orasidagi burchakning kosinasi a - b burchakning kosinusiga teng, shuning uchun cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (a - b) .
Sinus va kosinusning ta'riflarini eslang: sinus - qarama-qarshi burchakning oyog'ining gipotenuzaga nisbatiga teng burchak funktsiyasi, kosinus - qo'shimcha burchakning sinusi. Shuning uchun, nuqtalar A 1 Va A2 koordinatalariga ega (cos a , sin a ) va (cos b , sin b ) .
Biz quyidagilarni olamiz:
O A 1 → = (cos a , sin a) va O A 2 → = (cos b , sin b)
Agar aniq bo'lmasa, vektorlarning boshida va oxirida joylashgan nuqtalarning koordinatalariga qarang.
Vektorlarning uzunliklari 1 ga teng, chunki bizda bitta doira bor.
Endi O A 1 → va O A 2 → vektorlarining skalyar ko‘paytmasini tahlil qilaylik. Koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:
(O A 1 → , O A 2) → = cos a cos b + sin a sin b
Bundan biz tenglikni chiqarishimiz mumkin:
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Shunday qilib, farqning kosinus formulasi isbotlangan.