Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

A.B.HASANOV
XILL TENGLAMASI UCHUN TESKARI MASALALAR
VA ULARNING TATBIQLARI
II QISM
1

UDK
BBK
H
Monografiyada Xill operatori uchun spektral analizning to‘g‘ri va teskari
masalalariga oid muammolar bayon etilgan. Monografiyaning asosiy maqsadi –
oliy o‘quv yurtlarida matematika, tatbiqiy matematika va informatika, mexani-
ka va fizika bakalavr yo‘nalishlari bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarda spektral
analizning to‘g‘ri va teskari masalalariga bo‘lgan qiziqishni oshirishdan iborat.
Monografiyadan matematik tahlil, differensial tenglamalar, matematik fizika va
nazariy fizika mutaxassisliklari bo‘yicha tahsil olayotgan magistrantlar va dok-
torantlar ham foydalanishlari mumkin.
Mas’ul muharrirlar:
fizika-matematika fanlari nomzodlari A.B.Yaxshimurotov, Q.A. Mamedov
Taqrizchilar:
O‘zR FA akademiklari Sh.A.Alimov, M.S.Salohiddinov
ISBN c
°nashriyoti, 2013-y.
2

SO‘ZBOSHI
Mazkur kitobda butun va yarim o‘qda berilgan Xill operatori uchun to‘g‘ri va
teskari spektral masalalarni yechish usullari hamda ularning tatbiqlari keltirilgan.
Klassik matematik fizikada ixtiyoriy funksiyani ikkinchi tartibli oddiy dif-
ferensial tenglamaga qo‘yilgan chegaraviy masalaning xos funksiyalari bo‘yicha
Furye qatoriga yoyish masalasi muhim rol o‘ynaydi. Bunda qaralayotgan inter-
val chekli, differensial tenglama koeffitsiyentlari esa chegaralangan deb qarala-
di. Bu yo‘nalishdagi ilk natijalar D.Bernulli, J.Dalamber, L.Eyler, J.Liuvill va
C.Shturmlar tomonidan olingan. Ammo yuqorida zikr etilgan yoyilma analogi-
ni cheksiz interval yoki differensial tenglama koeffitsiyentlari maxsuslikka ega
hollarda olish ancha murakkab masala hisoblanadi. Bu masala Gilbert fa-
zosida berilgan chiziqli o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral nazariyasi
yaratilganidan keyin, 1910-yilda G.Veyl tomonidan batafsil hal qilindi. Differ-
ensial operatorlar spektral nazariyasining asosiy g‘oyalari XX asrda G.D.Birkgof,
G.Veyl, D.Gilbert, V.A.Steklov, E.Ch.Titchmarsh, M.A.Naymark, N.Levinson,
M.G.Kreyn, B.M.Levitan, B.A.Marchenko va boshqa olimlar tomonidan rivojlan-
tirilgan.
Spektral analizning teskari masalasi deganda differensial tenglama koeffit-
siyentlarini va chegaraviy shartlarni chegaraviy masalaning spektral xarakteris-
tikalari (spektrlar, spektral funksiya, sochilish nazariyasining berilganlari va haka-
zo) orqali tiklash masalasini tushunamiz. Hozirgi kunda teskari masalalar oddiy
differensial operatorlarning ayrimlari uchungina yetarlicha to‘liq o‘rganilgan. Bu
operatorlar orasida eng soddasi Shturm-Liuvill operatoridir:
Ly = −y
00
+ q(x)y,
a < x < b,
a ≥ −∞, b ≤ +∞.
Bu operator uchun qo‘yilgan teskari masalalar V.A.Ambarsumyan, G.Borg,
A.N.Tixonov,
N.Levinson,
V.A.Marchenko,
I.M.Gelfand,
B.M.Levitan,
M.G.Gasimov, M.G.Kreyn, L.D.Faddeyev, X.Xoxshtadt, V.A.Yurko va boshqa
olimlar tomonidan o‘rganilgan.
Teskari masalar nazariyasining rivojiga muhim turtki bo‘lgan ilk natija 1929-
yilda V.A.Ambarsumyan tomonidan olingan:
Teorema (1929-yil, V.A.Ambarsumyan). Agar ushbu
−y
00
+ q(x)y = λ y,
q(x) ∈ C [0, π],
y
0
(0) = 0, y
0
(π) = 0
haqiqiy koeffitsiyentli Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari
λ
n
= n
2
, n ≥ 0, bo‘lsa, u holda q(x) ≡ 0 bo‘ladi.
3

Bu teorema chegaraviy masalaning faqat xos qiymatlar ketma-ketligini bilgan
holda q(x) koeffitsiyentni va chegaraviy shartlarni tiklash imkoni bor ekan degan
g‘oyaga sababchi bo‘ldi. Bu taxmin noto‘g‘ri bo‘lib chiqdi, ya’ni faqat spektrning
o‘zi q(x) koeffitsiyentni va chegaraviy shartlarni yagona aniqlash uchun yetarli
emas. Masalan,
−y
00
= λ y,
y
0
(0) = y
0
(π) = 0
va
−y
00
+
2
(1 + x)
2
y = λ y,
y
0
(0) + y(0) = 0, y
0
(π) +
1
π + 1
y(π) = 0
Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari λ
n
= n
2
, n ≥ 0 bir xil spektrga ega.
Ambarsumyanning bu natijasi muhim ekanligiga birinchi bo‘lib shved matem-
atigi G.Borg e’tibor bergan. 1946-yilda G.Borg Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasi uchun teskari spektral masalani o‘zgacha qo‘yishni taklif qilgan. Jum-
ladan, u Shturm-Liuvill operatori faqat bitta chegaraviy sharti bilan farq qilu-
vchi ikkita Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektrlari yordamida yago-
na tarzda aniqlanishini ko‘rsatib bergan. Borgning yagonalik teoremasi 1949-
yilda L.A.Chudov tomonidan chegaraviy shartlar ancha umumiyroq bo‘lgan holda
o‘rganilgan.
Teorema (G.Borg). Agar λ
0
< λ
1
< ... < λ
n
< ... sonlar
−y
00
+ q(x)y = λ y,
q(x) ∈ C[0, π],
(1)
½
y
0
(0) − h y(0) = 0, h ∈ R,
y
0
(π) + H y(π) = 0, H ∈ R
(2)
chegaraviy masalaning xos qiymatlari, µ
0
< µ
1
< ... < µ
n
< ... sonlar esa
−y
00
+ q(x)y = λ y,
q(x) ∈ C[0, π],
(3)
½
y
0
(0) − h
1
y(0) = 0, h
1
∈ R, h
1
6= h,
y
0
(π) + Hy(π) = 0
(4)
chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo‘lsa, u holda {λ
n
}
∞
n=0
va {µ
n
}
∞
n=0
xos qiy-
matlar ketma-ketligi q(x) haqiqiy funksiyani va h, h
1
, H sonlarni yagona tarzda
aniqlaydi.
1949-yilda A.N.Tixonov yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatorini I(λ)
“impedans” funksiyasi (ya’ni Veyl-Titchmarshning m(λ) funksiyasi) yordamida
yagona tarzda qurish mumkinligi haqidagi teoremani isbotlashga muvaffaq bo‘ldi.
Teorema (1949-yil, A.N.Tixonov ). Quyidagi
z
00
+ λp
2
(t)z = 0, 0 < t < ∞
4

tenglamaning koeffitsiyenti p(t) bo‘lakli analitik funksiya bo‘lib, p(t) ≥ p
0
> 0
shart bajarilsin. U holda p(t) koeffitsiyent I(λ) =
u
0
(0,λ)
u(0,λ)
, λ < 0 funksiya orqali bir
qiymatli aniqlanadi. Bu yerda u(t, λ) qaralayatgan tenglamaning lim
t→∞
u(t, λ) = 0
shartni qanoatlantiruvchi yechimi.
A.N.Tixonovning bu teoremasi yer ichki qatlamlari elektrik hossalarini
o‘rganish masalalarini matematik asoslashda muhim ahamiyatga ega. Veyl-
Titchmarshning m(λ) funksiyasi bo‘yicha chiziqli oddiy differensial operatorni
qurish algoritmi V.A.Yurko tomonidan batafsil o‘rganilgan.
Shturm-Liuvill
operatori
spektral
nazariyasining
teskari
masalasini
o‘rganishda almashtirish operatorlari muhim rol o‘ynaydi. Ular ikkita har
xil Shturm-Liuvill tenglamalarining yechimlarini o‘zaro bog‘laydi. Almashtirish
operatorlari ilk bor B.M.Levitan va J.Delsartlarning ilmiy ishlarida paydo
bo‘lgan. Bu operator ixtiyoriy Shturm-Liuvill tenglamasi uchun A.Povzner
tomonidan qurilgan.
E normallangan chiziqli fazo bo‘lib, A va B uning E
1
va E
2
qism fazolarida
aniqlangan chiziqli operatorlar bo‘lsin.
Ta’rif. O‘zi va teskarisi E fazoda uzluksiz bo‘lgan,
A = X
−1
BX
shartni qanoatlantiruvchi X : E
1
→ E
2
chiziqli operatorga A va B operatorlar
uchun almashtirish operatori deyiladi.
E = C
1
[0, ∞) bo‘lib, A va B operatorlar quyidagi
A = −
d
2
dx
2
+ q
1
(x) , 0 ≤ x < ∞,
B = −
d
2
dx
2
+ q
2
(x) , 0 ≤ x < ∞
ko‘rinishga ega bo‘lsin. Bu yerda q
1
(x), q
2
(x)-berilgan uzluksiz funksiyalar.
E
k
orqali E fazodagi f
0
(0) = h
k
f (0), (k = 1, 2) shartni qanoatlantiruvchi,
ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to‘plamini belgilaylik. Bu yer-
da h
1
va h
2
ixtiyoriy chekli haqiqiy sonlar.
Teorema (J.Delsart, B.M.Levitan, A.Povzner ). A va B Shturm-Liuvill op-
eratorlari uchun almashtirish operatori mavjud bo‘lib, u uchun quyidagi tasvir
o‘rinli:
Xf (x) = f (x) +
x
Z
0
K(x, t)f (t)dt.
(5)
Bu yerda K(x, t) yadro quyidagi
∂
2
K
∂x
2
− q
2
(x)K =
∂
2
K
∂t
2
− q
1
(t)K
(6)
5

tenglamani va
K(x, x) = h
2
− h
1
+
1
2
x
Z
0
[q
2
(s) − q
1
(s)]ds,
(7)
µ
∂K
∂t
− h
1
K
¶
|
t=0
= 0
(8)
shartlarni qanoatlantiradi. Aksincha, K(x, t) funksiya (6) tenglamaning (7), (8)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsa, (5) tenglik bilan aniqlangan X oper-
ator A va B Shturm-Liuvill operatorlari uchun almashtirish operatori bo‘ladi.
Almashtirish operatorining hossalaridan foydalanib, (1) Shturm-Liuvill
tenglamasining ϕ(0, λ) = 1, ϕ
0
(0, λ) = h boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiru-
vchi ϕ(x, λ) yechimi uchun quyidagi
ϕ(x, λ) = cos
√
λx +
x
Z
0
K(x, t) cos
√
λtdt
(9)
muhim tasvirni olishimiz mumkin. Bu yerda K(x, t) funksiya q(x) potensial ham-
da h son bilan
q(x) = 2
dK(x, x)
dx
, h = K(0, 0)
(10)
formulalar yordamida bog‘langan.
Endi yarim o‘qda berilgan
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = λ y,
0 ≤ x < ∞,
y
0
(0) − h y(0) = 0, h ∈ R,
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qaraylik. Bu yerda q(x) ∈ C[0, ∞)–haqiqiy
funksiya, h–berilgan haqiqiy son va λ-kompleks parametr. ϕ(x, λ) orqali Lϕ = λϕ
tenglamaning ϕ(0, λ) = 1,
ϕ
0
(0, λ) = h boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiru-
vchi yechimini belgilaymiz.
Teorema (1910-yil, G. Veyl). Ushbu Ly = λ y,
y
0
(0) − h y(0) = 0,
0 ≤
x < ∞ Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun R sonlar o‘qida aniqlangan,
monoton o‘suvchi, chapdan uzluksiz, ρ(−0) = 0 shart bilan normallangan shun-
day ρ(λ) funksiya mavjudki, L
2
(0, ∞) fazodan olingan ixtiyoriy f (x) funksiya
uchun
∞
Z
0
f
2
(x)dx =
∞
Z
−∞
F
2
(λ)dρ(λ)
6

Parseval tengligi bajariladi. Bu yerda F (λ) funksiya
F
n
(λ) =
n
Z
0
f (x)ϕ(x, λ)dx
ketma-ketlikning L
2
ρ(λ)
(−∞, ∞) fazodagi limitini bildiradi.
Bunda ρ(λ) funksiyaga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral
funksiyasi deyiladi. Spektral funksiya umuman olganda yagona emas.
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasini topishga to‘g‘ri
masala deyiladi. Berilgan spektral funksiya bo‘yicha Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining q(x) potensialini va chegaraviy shartdagi h sonni topish masalasiga
spektral analizning teskari masalasi deyiladi.
Spektral analizning teskari masalasini yechishda almashtirish operatorlari ilk
bor V.A.Marchenko, so‘ngra I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan qo‘llanilgan.
1950-yilda V.A.Marchenko Shturm-Liuvill operatori o‘zining spektral
funksiyasi orqali yagona aniqlanishini ko‘rsatib berdi.
Teorema (1950-yil, V.A.Marchenko). Agar ρ(λ) funksiya ushbu
½
−y
00
+ q(x)y = λ y,
(0 ≤ x < ∞),
y
0
(0) = h y(0)
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining birorta spektral funksiyasi, ˜
ρ(λ) funksiya
esa ushbu
½
−y
00
+ ˜
q(x)y = λ y,
(0 ≤ x < ∞),
y
0
(0) = ˜hy(0)
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining birorta spektral funksiyasi bo‘lib,
˜
ρ(λ) = Cρ(λ),
C = const
tenglik bajarilsa, u holda q(x) ≡ ˜
q(x) va h = ˜h tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu
yerda q(x), ˜
q(x) - [0, ∞ oraliqda aniqlangan haqiqiy, uzluksiz funksiyalar, h, ˜h
haqiqiy sonlar.
V.A.Marchenko yagonalik teoremasi e’lon qilingandan keyin spektral funksiya
bo‘yicha Shturm-Liuvill operatorini tiklash masalasi dolzarb bo‘lib qolgan. Bu
masala 1951-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan yechilgan. So‘ngra
teskari masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli B.M.Levitan, I.M.Gasimov
va N.Levinson tomonidan mukammallashtirilgan.
Hozirgi kunga kelib teskari masalani yechishning bir nechta usullari bor.
Bu usullar orasida Gelfand-Levitan usuli muhim o‘rin egallaydi. Bu usulda al-
mashtirish operatori asosiy rolni o‘ynaydi. Usulning asosiy bosqichlaridan biri al-
mashtirish operatorining yadrosiga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamadir.
7

Teorema (1951-yil, I.M.Gelfand, B.M.Levitan). Har bir tayinlangan x ∈
(0, ∞) uchun (9) tasvirning K(x, t) yadrosi ushbu
K(x, t) + F (x, t) +
x
Z
0
K(x, s)F (s, t)ds = 0,
(0 < t < x)
(11)
chiziqli integral tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda
F (x, t) =
∞
Z
−∞
cos
√
λx cos
√
λtdσ(λ),
σ(λ) =
½
ρ(λ) −
2
π
√
λ , λ > 0,
ρ(λ) ,
λ ≤ 0.
Bu integral tenglama teskari masalaning asosiy integral tenglamasi yoki Gelfand-
Levitan integral tenglamasi deb yuritiladi.
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining ρ(λ) spektral funksiyasi bo‘yicha
teskari masalani yechish uchun avvalo (11) integral tenglamani yechib K(x, t)
funksiyani topamiz, so‘ngra (10) formulalar yordamida q(x) potensial va chegar-
aviy shartdagi h sonni aniqlaymiz.
Chekli oraliqda berilgan (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qaray-
lik. Bu masalaning xos qiymatlarini λ
n
, n ≥ 0 orqali, ularga mos keluvchi xos
funksiyalarni ϕ(x, λ
n
), n ≥ 0 orqali va normallovchi o‘zgarmaslarni
α
n
=
π
Z
0
ϕ
2
(x, λ
n
)dx,
n ≥ 0
orqali belgilaylik. Bu holda {λ
n
}
∞
n=0
va {α
n
}
∞
n=0
spektral ˜oarakteristikalar yor-
damida q(x) funksiyani va h, H sonlarni topish masalasiga Gelfand-Levitan
usulini qo‘llash mumkin. Bunda Gelfand-Levitan integral tenglamasining yadrosi
quyidagi
F (x, t) =
∞
X
n=0
µ
cos
√
λ
n
x cos
√
λ
n
t
α
n
−
cos nx cos nt
α
0
n
¶
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda
p
λ
n
= n +
c
nπ
+
γ
n
n
,
c = h + H +
1
2
π
Z
0
q(t)dt,
α
n
=
π
2
+
˜
γ
n
n
,
{γ
n
} ∈ l
2
,
{˜
γ
n
} ∈ l
2
,
α
0
0
= π,
α
0
n
=
π
2
, n ≥ 1.
8

Keyingi teskari masala G.Borg yagonalik teoremasi isbotlangandan keyin
hosil bo‘lgan teskari masaladir. Bunda (1)+(2) va (3)+(4) Shturm-Liuvill chegar-
aviy masalalarining spektrlari, ya’ni {λ
n
}
∞
n=0
va {µ
n
}
∞
n=0
ketma-ketliklar yor-
damida bu chegaraviy masalalar koeffitsiyentlarini tiklash talab qilinadi. Bu
teskari masalani yechish algoritmi ilk bor M.G.Kreyn tomonidan ishlab chiqil-
di. So‘ngra bu algoritm berilgan spektrlar tilida 1964-yilda B.M.Levitan va
M.G.Gasimovlar tomonidan takomillashtirildi. Bu masalani yechish uchun, av-
valo, berilgan {λ
n
}
∞
n=0
va {µ
n
}
∞
n=0
xos qiymatlar ketma-ketligi yordamida ushbu
α
n
=
h
1
− h
µ
n
− λ
n
∞
Y
k=0
k6=n
λ
k
− λ
n
µ
k
− λ
k
,
n ≥ 0,
h
1
− h = π lim
n→∞
n(
√
µ
n
−
p
λ
n
)
formulalardan foydalanib, {α
n
}
∞
n=0
normallovchi o‘zgarmaslar ketma-ketligini
aniqlaymiz. So‘ngra {λ
n
}
∞
n=0
va {α
n
}
∞
n=0
spektral ˜oarakteristikalar yordamida
Gelfand-Levitan usulini qo‘llab, q(x) potensial va h, h
1
, H sonlarni topamiz.
1978-yilda X.Xoxshtadt va B.Liberman quyidagi yagonalik teoremasini isbot
qildilar.
Teorema (1978 yil, X.Xoxshtadt, B.Liberman). Agar Shturm-Liuvill chegar-
aviy masalasining {λ
n
}
∞
n=0
xos qiymatlar ketma-ketligi va q(x) koeffitsiyenti
£
π
2
, π
¤
oraliqda berilgan bo‘lsa, u holda
£
0,
π
2
¤
oraliqda q(x) potensial va h, H
sonlar yagona aniqlanadi.
Bu yonalishdagi masalalar R. del Rio, F.Gesztesy, B.Saymon, R.Hryniv,
Y.Mykytyuk va boshqa olimlarning ilmiy ishlarida umumlashtirilgan.
Agar G.Borg teoremasidagi (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasida
q(x) kompleks qiymat qabul qiluvchi funksiya va h, h
1
, H - kompleks sonlar
bo‘lsa, u holda bu chegaraviy masalalarga mos keluvchi xos qiymatlarning chek-
litasi chekli karrali, qolganlari oddiy bo‘ladi. O‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan bu
chegaraviy masalalarning {λ
n
}
∞
n=0
va {µ
n
}
∞
n=0
xos qiymatlar ketma-ketligi kom-
pleks qiymat qabul qiluvchi q(x), x ∈ [0, π] funksiyani va h, h
1
, H kompleks
sonlarni yagona ravishda aniqlanishi B.Y.Levinning monografiyasida isbotlangan.
Hozirgi kunda chekli oraliqda berilgan o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan Shturm-
Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalalarni yechish algoritmi
V.A.Yurko va uning o‘quvchilari tomonidan o‘rganilmoqda.
Navbatdagi teskari masala sochilish nazariyasining teskari masalasidir.
Quyidagi
½
l(y) ≡ −y
00
+ q(x)y = k
2
y,
(0 ≤ x < ∞),
y(0) = 0
(12)
9

chegaraviy masalada