XiYaSOva aynURa sobolev tiPİndegi keńİSLİkler ushin n. N. LuziNNİŃ QÁSİyeti

III BAP.Sobolev klassları ushın Luzinniń juwıqlaw haqqında teoreması
3.1 Sobolev keńislikleri. Tegis funkciyalar menen juwıqlaw….……..….34
3.2 Luzinniń qásiyeti………………………………………….39
3.3 keńisligi funkciyaları ushın Luzinniń - qásiyet
tipindegi teorema……………………………………………………….42
3.4 Úshinshi bap boyınsha juwmaq....………………………..……...…..50


Juwmaqlaw..............................................................................................59
Paydalanılǵan ádebiyatlar dizimi..........................................................61


KIRISIW

Usınılıp atırǵan bul magistrlik pitkeriw qánigelik jumıstıń izertlew obiekti ólshemli qálegen metrikalıq keńislikte ulıwmalasqan Sobolev klassları bolıp, tiykarınan haqıyqıy ózgeriwshili funkciyalar teoriyasındaǵı fundamental nátiyjelerdiń biri Luzin teoremasına arnalǵan. Tiykarǵı nátiyje Luzin teoremasınıń sıyımlılıq qásiyetlerine baylanıslı teorema bolıp tabıladı. Ólshemli qálegen metrikalıq keńislikte eselew shártin qanaatlandıratuǵın Sobolev tipindegi keńislikler ushın dúzetiw haqqında Luzin teoremasınıń analogı. Dúzetiw funkciyası Gyolder klassına tiyisli hám dáslepki keńislik metrikasında berilgen funkciyanı juwıqlaydı. Siyrek kópliklerdiń razmerleri sıyımlılıq termininde bahalanadı.

0.1-teorema. Eger de funkciya ólshewli bolsa, onda qálegen ushın Lebeg ólshemi bolatuǵınday kóplik tabıladı hám funkciyanıń degi izi (tarılıwı) kóplikte úzliksiz boladı.
Sobolev tipindegi funkciyalar klassı ushın bul teorema funkciyalardıń názik qásiyetlerine mısal bolıp tabıladı. Bunda, ádettegi funkciyanıń nollik ólshemli kópliktegi mánisleriniń ózgeriwine qarata invariantlı emes qásiyetleri názerde tutıladı. Monoton funkciya tuwındıǵa iye bolmaǵan tochkalardıń kópligi nol ólshemli kóplik delinedi.
Házirgi waqıtta Luzinniń -qásiyeti haqqındaǵı teoreması haqıyqıy ózgeriwshili funkciyalar teoriyasınıń qálegen qıyın kursına kiredi. Bul teoremanıń tastıyıqlawı boyınsha qálegen de ólshewli funkciya -qásiyetke iye eger qálegenshe kishi ólshemli kóplikti itibarǵa almaǵanda úzliksiz boladı. Anıǵıraq aytatuǵın bolsaq,
qálegen ólshemli funkciya hám san ushın sonday úzliksiz funkciya hám tuyıq kóplik tabılıp, olar ushın hám bolǵanda
(0.1)
orınlı boladı, bunda - Lebeg ólshemi.
Bul faktler funkciya haqqında qosımsha maǵlıwmatlar berilse, dara jaǵdayda, úzliksiz differensiallanıwshı funkciyalar ushın Luzin kópligi haqqında ne aytıwǵa boladı?
Eger funkciya bazıbir funkcional keńislikke tiyisli bolsa, onda juwıqlaw (approksimatsiyalaw) funkciyası qanday qosımsha teń ólshemli úzliksizlik qásiyetlerine iye bolıwı múmkin ?
funkciyada funkciyaǵa jaqın boladı dep bekitiwge bolama degen sorawlar tuwıladı. Bunday sorawlar tiykarınan Sobolev keńisliginen alınǵan , bunda regulyar oblast funkciyalardıń tochkalıq qásiyetlerine baǵıshlanǵan kópshilik jumıslarda úyrenildi:
.
Sobolev keńisliginiń klassikalıq anıqlamasında funkciyanıń klasqa tiyisliginiń eki tiykarǵı shártin atap ketiw múmkin: birinshiden, ulıwmalasqan tuwındılardıń bar bolıwı, bul funkciyasınıń teń ólshemli úzliksizligin sıpatlaydı, ekinshiden, funkciyanıń gradienti (ulıwmalasqan mánistegi dara tuwındılarınıń vektorı) moduli Lebeg keńisligine tiyisli boladı.
Usınday túrdegi birinshi nátiyjeni, eger derlik hámme jerde differensiallanıwshı bolsa, onda (0.1) orınlılıǵın G. Federerdiń (1944) belgili jumısında kóriwge boladı hám bunda . Sál keyin, X.Uitni (1951) sonday juwmaqqa keledi, eger derlik hámme jerde approksimativ dara tuwındılarǵa iye bolǵanda keliwge bolatuǵınlıǵın kórsetti.

Ótken ásirdegi belgili matematiklerden Kalderon A. hám Zıgmund A. (1961) joqarı tártipli Sobolev klassların qarap, eger den alınsa, onda (0.1) - teńlikte dep alıwǵa bolatuǵınlıǵın dáliylledi.

Bunnan keyin , Begbi T. Hám Zimer V. (1974) ózleriniń belgili jumıslarında kóplik sıyımlıǵın dáliyllep, Kalderon-Zıgmund teoremasınıń sıyımlıq penen berilgen birinshi kúsheyttirilgen nusqasın berdi. Belgili matematik F. Liu (1977), Kalderon-Zıgmund qurǵan nátiyjeni analizlew nátiyjesinde, olardıń teoremasında (0.1) teńlikke qosımsha

dep tastıyıqlawǵa bolatuǵınlıǵın taptı.
Dj. Maykl hám V. Zimerdiń (1985) jumıslarında Begbi-Zimer hám F. Liu teoremalarınıń birikken nusqası keltirilgen.
İzertlewlerdiń belgili bir nátiyjesi D. Svanson (2002), de hám B. Boyarskiy, P. Xaylash, P. Strjeletskiy (2002), de kelesi Bessel sıyımlıǵında berilgen nusqası menen juwmaqlandı.