XiYaSOva aynURa sobolev tiPİndegi keńİSLİkler ushin n. N. LuziNNİŃ QÁSİyeti

I BAP.DİSSERTACİYA TEMASI BOYINSHA DÁSLEPKİ MAǴLIWMATLAR


§ 1.1. BIRTEKLI TIPTEGI KEŃISLIKLER
sızıqlı keńislik normalanǵan keńislik delinedi, eger norma dep atalıwshı hár bir vektorǵa haqıyqıy sanın sáykes qoyıwshı hám tómendegi 3 shártti qanaatlandırıwshı

funkciya berilgen bolsa:
1)
2)
3)
Meyli , normalanǵan keńislik bolsın.
teńlik penen berilgen funkciya keńislikte metrika dep ataladı.
Meyli, metrikalıq keńislik, metrika bolsın. metrikadan qurılǵan orayı tochkada radiuslı ashıq shardı
arqalı belgileymiz. Jiyi jaǵdaylarda shar ushıın qısqasha belgilewdi qollanamız, sonda - shardıń radiusı.
arqalı radiusları bolǵan tochkanı saqlawshı sharlar semeystvosın belgileymiz:
de .
Kóplikler teoriyasınan bir qatar anıqlamalardı keltiremiz.
Bazıbir qásiyeti kóplikte ‟ - derlik barlıq jerde‟ yamasa ‟derlik barlıq jerde sıyımlıq boyınsha‟ orınlı degen qásiyeti orınlanbaǵan kóplik nollik sıyımlıqqa iye ekenin bildiredi:
.
Mısalı, derlik barlıq jerde dep aytılsa, onda ol

ekenin bildiredi.
Meyli, hám funkciya kóplikte anıqlanǵan. Onda

1. 
   ,
   
2. 
   
   

Lebeg kóplikleri delinedi.
Meyli, funkciya ólshewli kóplikte anıqlanǵan. Eger qálegen ushın barlıq Lebeg kóplikleri ólshewli bolsa, onda onda funkciya kóplikte ólshewli delinedi.
ólshemli Evklid keńisliginde bazıbir oblasttı qaraymız. arqalı oblastaǵı barlıq Borel úles kóplikler sistemasınıń - algebrasın belgileyik. Borel kóplikleri shekli sandaǵı tochkalardan ibarat boladı yamasa sanaqlı kóplik bolıp tabıladı. Borel kóplikleri ólshewler teoriyasınıń tiykarǵı túsiniklerinen biri esaplanadı. Ólshew-kópliklerde teris bolmaǵan funkciya, ólshewli kóplik-ólshew oblastına tiyisli bolǵan kóplik.
kóplikte anıqlanǵan teris emes -additiv funkciya oblastta ólshem delinedi hám arqalı belgilenedi. - additivlik eger kóplik shártlerdi qanaatlandırsa, onda ekenin bildiredi.
Eger -ólshemli kóplikler klası barlıq Borel ólshemli kópliklerdi ózinde saqlasa, onda sanaqlı additiv -ólshem kóplikte Borel ólshemi delinedi (mısalı,[1, T.1., 27-b., T.2., 82-b.]). Iqtıyarlı shardıń ólshemi shekli hám oń boladı.
Ólshemniń regulyarlıǵı degende qálegen - ólshemli kóplik ushın sonday ashıq hám jabıq kóplikler tabılıp,
[1, T.2., 84-b.]).
Biz jumısta tiykarınan regulyar Borel ólshemlerin qaraymız hám tómendegi shárt orınlı dep uyǵaramız, sonday bar boladı
. (1.1)
Bul shártti ádette eselew shárti dep ataydı.
-ólshem hám metrika (1.1) shárt penen baylanısqan jaǵdayda úshlikti birtekli tiptegi keńislik dep ataydı.
(1.1) shártti sanlıqtúrde anıqlawǵa boladı, bazıbir ushın ( dep alıw múmkin) teńsizlik orınlı
. (1.2)
sanı eselew kórsetkishi delinedi hám kópliktiń razmerligi (muǵdarı) xızmetin atqaradı.
Endi birtekli Sobolev keńisliklerin engizemiz (Sobolev keńislikleriniń ulıwma anıqlaması 3.1.1 bólimge qarań), olar klasstıń tómendegi yarım norma boyınsha tuyıqlanıwı retinde anıqlanadı:
.
Sonıda esletip ótemiz, ádebiyatlarda birtekli keńisliklerdi arqalı belgileydi. Birtekli túrdegi Sobolevtiń jaylasıw teoreması haqqında 3.1.3 - punktte qarań.