Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

2. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

Ta`rif: Xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, shu tenglamani qanoatlantiradigan funksiyaga aytiladi.
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma`lumki, tartibli

tenglamaning yechimi ta ixtiyoriy o`zgarmasga bog`liqdir, ya`ni . Bu o`zgarmaslarni aniqlash uchun noma`lum funksiya qo`shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun bu masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o`zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog`liq bo`lib, bu funksiyalar soni tenglamalar tartibiga teng bo`ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo`ladi.

O`zgarmas koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

Misol. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping: u_xy=0.
Dastlab bo`yicha, so`ngra bo`yicha integrallaymiz, natijada yechimni olamiz. Ko`rib turganingizdek, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimida tenglama tartibiga teng miqdorda, ya`ni ikkita funksiya qatnashayapti, bu funksiyalar argumenti esa yechim argumentlari sonidan bitta kam.
Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u<sub>xyy</sub>=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
.
Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u<sub>xyz</sub>=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
.
Oxirgi misolda, ko`rib turganingizdek yechimda tenglama tartibiga mos uchta funksiya qatnashaypti, yechim uch o`zgaruvchili bo`lgani uchun bu funksiyalar argumenti ikki o`zgaruvchili.