Yagona (birlik), chunki undagi raqam bitta belgini takrorlash orqali hosil bo'ladi, bu bitta belgini anglatadi. Tizimning kamchiliklari

Rim raqamlar tizimi
Bu tizim avvalgisidan tubdan farq qilmaydi va hozirgi kungacha saqlanib qolgan. U quyidagi belgilarga asoslanadi:
$ I $ (bir barmoq) $ 1 $ raqami uchun;
$ V $ (ochiq kaft) $ 5 $ raqami uchun;
$ X $ (ikki kaft buklangan) $ 10 uchun;
$ 100 $, $ 500 $ va $ 1000 $ raqamlarini belgilash uchun tegishli lotin so'zlarining birinchi harflari ishlatilgan ( Sentum- yuz, Demimilla- yarim ming, Mille- ming).
Raqamlarni tuzishda rimliklar quyidagi qoidalardan foydalanganlar:
Raqam birinchi turdagi guruhni tashkil etuvchi qatorda joylashgan bir nechta bir xil "raqamlar" qiymatlari yig'indisiga teng.
Raqam ikkita "raqam" qiymatlari orasidagi farqga teng, agar kattasining chap tomonida kichikroq bo'lsa. Bunday holda, kattaroq qiymatdan kichikroq qiymat chiqariladi. Ular birgalikda ikkinchi turdagi guruhni tashkil qiladi. Bunday holda, chap "raqam" o'ngdan maksimal $ 1 $ buyurtmasiga kam bo'lishi mumkin: $ L (50) $ va $ C (100 $) dan oldin "kichik"lardan faqat $ bo'lishi mumkin. X (10 $), $ D (500 $ ) va $ M (1000 $) dan oldin - faqat $ C (100 $), $ V (5) dan oldin - I (1) $.
Raqam $ 1 $ yoki $ 2 $ tipidagi guruhlarga kiritilmagan guruhlar va "raqamlar" qiymatlari yig'indisiga teng.

3-rasm.
Rim raqamlari qadim zamonlardan beri qo'llanilgan: ular sanalar, jildlar, bo'limlar, boblar sonini bildiradi. Men oddiy arab raqamlarini osongina qalbakilashtirish mumkin deb o'ylardim.
Alfavit sanoq tizimlari
Bu sanoq sistemalari mukammalroqdir. Bularga yunon, slavyan, finikiya, yahudiy va boshqalar kiradi. Ushbu tizimlarda $ 1 $ dan $ 9 $ gacha bo'lgan raqamlar, shuningdek, o'nlab (10 $ dan $ 90 $ gacha), yuzlab (100 $ dan $ 900 $ gacha) raqamlar harflari bilan belgilangan. alifbo.
Qadimgi yunon alifbo sanoq tizimida $ 1, 2, ..., $ 9 raqamlari yunon alifbosining birinchi toʻqqizta harfi va boshqalar bilan belgilangan. Quyidagi $ 9 $ harflari $ 10, 20, ..., $ 90 raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan va oxirgi $ 9 $ harflari $ 100, 200, ..., 900 $ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan.
Slavyan xalqlari orasida harflarning raqamli qiymatlari dastlab fe'ldan, keyin esa kirill alifbosidan foydalangan slavyan alifbosi tartibiga muvofiq o'rnatildi.

4-rasm.
Izoh 1
Alfavit tizimi qadimgi Rossiyada ham ishlatilgan. 17-asrning oxirigacha $27 $ kirill harflari raqam sifatida ishlatilgan.
Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari bir qator muhim kamchiliklarga ega:
Katta raqamlarni yozish uchun doimiy ravishda yangi belgilarni kiritish zarurati mavjud.
Kasr va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.
Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari mavjud emas.
Sanoq tizimi (Raqamlash) - sonni raqamlar deb ataladigan ba'zi alifbolarning belgilari bilan ifodalash usuli.
Insoniyat uzoq rivojlanish jarayonida ikki xil sanoq sistemasiga keldi: pozitsion va nopozitsion.
Nopozitsion sanoq sistemasi
Eng qadimgi raqamlashda faqat "|" birlik uchun va har bir natural son birlik belgisini shu sonda qancha birliklar bor bo‘lsa, shuncha marta takrorlash orqali yozilgan. Ushbu raqamlashda qo'shish birliklarni belgilashga, ayirish esa ularni o'chirishga qisqartirildi. Ushbu raqamlash usuli o'zining noqulayligi tufayli katta raqamlarni ko'rsatish uchun mos emas.
Da dastlabki tayyorgarlik maktabda, hisoblash birdan ikki o'nlab oralig'ida bo'lsa, bu raqamlash usuli muvaffaqiyatli qo'llaniladi (tayoqlarda hisoblash).
Nopozitsion sanoq sistemalarida har bir belgining ma'nosi saqlanib qoladi va uning son yozuvidagi o'rniga bog'liq emas.
Ko'proq zamonaviy nopozitsion tizimlarga Misr ieroglif raqamlash tizimi kiradi, unda raqamlar uchun ma'lum belgilar mavjud edi: bir - I, o'n - n, yuz - s va boshqalar; bu raqamlar tugun sonlari deb ataladi. Algoritmik sonlar deb ataladigan boshqa barcha natural sonlar bitta arifmetik amal - qo'shish yordamida bir xilda yoziladi. Masalan, 243 raqami ss nnnn III, 301 - sss I sifatida yoziladi.
Pozitsiyali bo'lmagan tizimlar rim raqamlashni o'z ichiga oladi. Ushbu tizimdagi tugun sonlar uchun raqamlar olinadi: bir - I, besh - V, o'n - X, ellik - L, yuz - C, besh yuz - D, ming - M. Barcha algoritmik raqamlar ikkita yordamida olinadi. arifmetik amallar: qo‘shish va ayirish. Ayirish kichikroq tugun raqamiga mos keladigan belgi kattaroq tugun raqamining belgisi oldida bo'lganda amalga oshiriladi, masalan, VI - olti (5 + 1 = 6), XC - to'qson (100-10 = 90), 1704 - MOSSIV, 193 -SXSSh , 687 - DCLXXXII.
Rim raqamlashda besh karrali raqamlash tizimining izlari sezilarli, chunki 5, 50 va 500 raqamlari uchun maxsus belgilar mavjud.
Raqamlarni yozishda nafaqat qo'shish, balki ko'paytirish printsipidan ham foydalanilgan.
Masalan, qadimgi Xitoy sanoq tizimida 20 va 30 raqamlari sxematik tarzda 2.10 va 3.10 sifatida tasvirlangan. 10, 100, 1000 raqamlari ma'lum maxsus belgilarga ega edi. 528 raqami shunday yozilgan: 5,100,2,10,8. Pozitsiyali bo'lmagan raqamlash tizimlarining eng qulaylari alfavitli raqamlash tizimlaridir. Bunday tizimlarga misol qilib Ion tizimi (Qadimgi Yunoniston), slavyan, yahudiy, gruzin va arman tillarini keltirish mumkin.
Barcha alifbo tizimlarida maxsus belgilar bilan belgilanishi kerak - harflarni alifbo tartibida 1 dan 9 gacha barcha raqamlar, 10 dan 90 gacha bo'lgan barcha o'nliklar va 100 dan 900 gacha bo'lgan barcha yuzliklar. Harflar ustidagi so'zlardan raqamlarning yozilishini farqlash uchun raqamlarni bildiruvchi, yunon va slavyan tillarida raqamlash chiziq bilan belgilangan.
Yunon sanoq sistemasida 543 raqami yozildi: cmg (c - 500, m - 40, g - 3). Rim raqamlar tizimida bu raqam DXLIII, Misr ieroglifida - ssscc nnn III sifatida yoziladi.
Bu misol birliklarni, o'nliklarni, yuzliklarni belgilashning raqamli printsipidan foydalanadigan alifbo raqamlashning afzalligini ko'rsatadi. Alfavit tizimida katta raqamlarni yozishda pozitsion qayd qilish tizimiga o'tish allaqachon ko'rinadi. Masalan, 32543 quyidagicha yozilgan:
Guruch. 4
Ko'pchilik qulay tizimlar raqamlar pozitsion yoki mahalliy tizimlar bo'lib chiqdi.
Pozitsion sanoq sistemalari
Pozitsion sanoq sistemasi - bu har qanday natural sonni ba'zi piktogramma yoki belgilar yordamida yozish imkonini beruvchi ta'riflar va qoidalar to'plami bo'lib, ularning har biri raqamdagi o'rniga (o'z pozitsiyasiga) qarab ma'lum ma'noga ega. Ruxsat etilgan bazaga ega eng ko'p ishlatiladigan pozitsion sanoq tizimi. Tizimning asosi ixtiyoriy c, c> 1 natural soni bo'lishi mumkin.
N natural sonning c asosdagi sistematik yozuvi bu sonning yig‘indi sifatida ko‘rinishidir: N = annsn + ... + a1s, + a0, bu erda a, ..., a1, a0 qiymatlarni qabul qiluvchi sonlar ​​0, 1, ..., s - 1, bundan tashqari, a? 0.
Bazasi c bo'lgan pozitsion sanoq tizimi s - ary (ikkilik, uchlik va boshqalar) deb ataladi. Amalda, o'nlik c = 10 ko'pincha ishlatiladi).
s - ary sanoq sistemasida 0, 1, ..., s - 1 raqamlarini belgilash uchun sonlar deb ataladigan maxsus belgilar qo'llaniladi. Qadimgi hind matematiklari nolni kashf etdilar - bu ma'lum bir toifadagi birliklarning yo'qligini ko'rsatishi kerak bo'lgan maxsus belgi.
Raqamli tizim uchun siz raqamlardan boshlashingiz kerak. Agar bilan< 10, то применяются те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берутся цифры, меньше основания системы).
Bazasi c>10 bo'lgan tizimlar 10 dan katta yoki unga teng bo'lgan raqamlar uchun maxsus belgilar kiritmaydi, lekin bu raqamlarning o'nlik belgilaridan foydalanadi, bu belgini qavs ichiga oladi. Masalan, o'n oltilik tizimda o'n to'rtta raqam mavjud: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).
Asosiy c sanoq sistemasida, shuningdek, o'nlik sanoq sistemasida o'ngdan chapga sanaladigan raqam egallagan o'rin o'rin deyiladi.
N = ans n + raqami. ... ... + a1c + a0 birinchi toifadagi a0 birliklarni, ikkinchi toifadagi a1 birliklarni, uchinchi toifadagi a2 birliklarni va hokazolarni o'z ichiga oladi. Keyingi raqamning birligi oldingi raqamning birligidan s marta katta.
Pozitsion sanoq sistemalari har qanday natural sonni yozish imkoniyati va yagonaligi haqidagi talabni qondiradi.
Teorema. Har qanday natural N sonni sistemada c asosli va bundan tashqari, yagona usulda yozish mumkin.
Isbot:
1. Har qanday natural sonning ko‘rinishi borligini quyidagi ko‘rinishda isbotlaymiz:
N = ansn + a n-1 sn-1 + ... + ac + a0. (1)
To'liq matematik induksiya usuli bilan isbotlashni amalga oshiramiz.
N sonining (1) ko'rinishida ifodalanishi birinchi p-1 natural sonlari 1, 2, ..., s-1 uchun mumkin, chunki n = 1 va raqam berilgan songa to'g'ri keladi. Raqamni 1, 2, raqamlari uchun (1) ko'rinishda ko'rsatish. ... ... , s-1, shubhasiz, faqat bitta usulda mumkin: 1 = 1, 2 = 2 ,. ... ... , s-1 = s-1.
Faraz qilaylik, barcha natural sonlar N?K (k? 1) (1) ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. k+1 sonini (1) ko`rinishda ham ifodalash mumkinligini isbotlaylik. Buning uchun k + 1 sonini s ga qoldiq bilan ajratamiz:
K + l = ss + r, 0<г<с-1, (2)
Bu erda s - to'liq bo'lmagan qism va r - qoldiq.
s?K soni induksiya gipotezasiga ko'ra, uni (1) ko'rinishda ifodalash mumkin:
s = ansn +. ... ... + a1c + a0, (3)
qayerda 1? a? s -1, 0? ai? -l bilan, (i = 0,1, .., n-1)
(2) va (3) iboralarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
k + l = (ans + ... + ais + a0) s + g = ans + ... + ais + a0s + g (4)
1 qayerda? -1, 0 bilan? aj? -1, 0 bilan? G? s -1 0 = 0,1 ,. ... , n-1)
Ushbu ifoda (4) k + 1 sonining (1) ko'rinishini beradi:
K + 1 = b n + 1s n + 1 + bn s n + ... + b1s + b0,
bu yerda b0 = r, bi + 1- ai (i = 0, l, .., n-l)
2. Har qanday natural sonni (1) ko`rinishda tasvirlashning yagonaligini isbotlaylik.
Biz isbotlashni matematik induksiya usuli bilan bajaramiz.
1, 2, ..., s -1 raqamlari uchun (1) ko'rinishdagi tasvir yagona hisoblanadi.
Faraz qilaylik, barcha N?K (k? 1) natural sonlar uchun (1) ko‘rinishdagi tasvir yagona bo‘lsin. k+1 sonini (1) ko’rinishda faqat bir usulda ifodalash mumkinligini isbotlaylik. Buning uchun k + 1 sonini s ga qoldiq bilan ajratamiz:
K + l = ss + r, 0<г< с -1 (5)
Aytaylik, k + 1 ning ikki xil ifodalash usuli mavjud:
k + 1 = a ns n + an-1 s n-1 + .... + a1s + a () (6)
k + 1 = b ms m + bm-1 s m-1 + ... + b1s + b0 (7)
Biz (6) va (7) tengliklarni quyidagi shaklda ifodalaymiz:
k + 1 = (a ns n-1 + an-1 s n-2 + ... + a1) s + a0 (6 *)
k + 1 = (b ms m-1 + bm-1 s m-2 + ... + b) s + b0 (7 *)
Xo'sh, 0 qanday? a0? -1 va 0 bilan? b0?s -1 bo'lsa, (6 *) va (7 *) dan to'liq bo'lmagan qism s va (5) formulada qolgan r quyidagicha bo'ladi:
S = ans n-1 + an-1 s n-2 + ... + a1 = bms m-1 + bm-1 s m-2 + ... + b1. r = a0 = b0.
Xo'sh, s qanday? k, bu induktiv farazdan kelib chiqadiki, s soni (1) ko'rinishdagi yagona ko'rinishga ega, ya'ni:
n-l = m-l, ai = bi, (i = 0,1,.., n-1).
Oxirgi tenglikdan biz a0 = bo ga egamiz. Shunday qilib, n = m, ai = bi (i = 0, l,.., N-l), lekin bu raqam k + 1 degan taxminga zid keladi. ikki xil ko'rinishga ega (6) va (7). Binobarin, k + 1 soni (1) ko'rinishda o'ziga xos tarzda ifodalanadi. Matematik induksiya printsipiga asoslanib, bu bayonot har qanday N uchun to'g'ri bo'ladi. Teorema isbotlangan.
Kodlashni o'rganar ekanman, men sanoq tizimlarini etarlicha tushunmaganimni angladim. Shunga qaramay, u tez-tez 2-, 8-, 10-, 16-tizimlardan foydalangan, bir-birini boshqasiga tarjima qilgan, ammo hamma narsa "avtomatik ravishda" amalga oshirilgan. Ko'pgina nashrlarni o'qib chiqqanimdan so'ng, bunday asosiy material bo'yicha oddiy tilda yozilgan bitta maqola yo'qligi meni hayratda qoldirdi. Shuning uchun men o'zimni yozishga qaror qildim, unda men sanoq tizimlarining asoslarini tushunarli va tartibli tarzda tushuntirishga harakat qildim.