Yechim va ko‘rsatmalar

1. Quyidagi tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi barcha (x, y, z) natural sonlar uchliklarini toping:
.
Javob: ………………………………………………
Yechim: Sistemaning I tenglamasini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:



Bu natija va sistemaning II tenglamasidan foydalanib quyidagilarga kelamiz:
I)
.
Demak, sistemaning bitta natural yechimi (2, 1, 1) .
II)
.
Demak, qaralayotgan tenglama faqat y=z=a bo’lganda yechimga ega. Bu holda berilgan tenglama x²+2ax+a²=(x+a)²=0 ko’rinishga keladi va undan x=−a ekanligi kelib chiqadi. Bu holda (x, y, z)=(−a, a, a) va u berilgan sistemaning natural yechimi bo’lmaydi. Demak, sistema yagona (x, y, z)=(2, 1, 1) natural yechimga ega.
Javob: (x, y, z)=(2, 1, 1) .


2. tenglama yagona yechimga ega bo’ladigan b parametrning barcha qiymatlarini toping.
A) ; B) ; C) ; D) .
Yechim: Tenglamaning o’ng tomoni nomanfiy bo’lgani uchun x−2≥0=>x≥2 shart bajarilishi kerak. Bu shartda tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, berilgan tenglamaga teng kuchli bo’lgan quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz va uni yechamiz:

.
Bu tenglama x≥2 sohada bitta ildizga ega bo’lishi uchun uning diskriminanti nomanfiy, kichik ildizi x₁<2 va katta ildizi esa x₂≥2 bo’lishi kerak. Bundan b parametr uchun quyidagi tengsizliklar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu yerda bo’lgani uchun sistemaning yechimi b≥3/4, ya’ni ekanligi kelib chiqadi.
Javob: C)