Задача. Даны законы поступательного движения тела по осям и :. Найти уравнение траектории. Решение

Задача. Найти новую угловую скорость вращения легкого жесткого стержня при изменении положения грузиков с массами и , если задана первоначальная скорость вращения. Или найти, во сколько раз изменится угловая скорость вращения.
Решение.

Предполагается, что изменение положения грузов произошло без воздействия внешней силы, грузы взаимодействуют только со стержнем. В этом случае сохраняется момент импульса двух грузов (момент инерции и момент импульса стержня равны нулю, так как по условию он не имеет массы):

Моменты инерции грузов считаем по формуле для материальных точек на расстоянии от оси:

Задача. Найти максимальную или минимальную скорость движения планеты или их отношение, если даны максимальное или минимальное расстояние до звезды или их отношение, и наоборот.

Решение.

1 2

При движении спутника вокруг притягивающего массивного тела сохраняется момент импульса спутника. Модуль момента импульса равен , где – плечо импульса. Скорость спутника всегда направлена по касательной к орбите. Только в двух точках орбиты: на минимальном (1) и максимальном (2) расстояниях от притягивающего тела плечо импульса равно соответствующим расстояниям . Для этих двух точек 1 и 2 запишем равенство моментов импульса:

На минимальном расстоянии спутника от притягивающего тела его скорость максимальна, а на максимальном расстоянии – минимальна. Максимальная скорость спутника во столько же раз больше минимальной, во сколько максимальное расстояние больше минимального.
Задачи на формулы связи консервативной силы с потенциальной энергией
Задача 29. Найдите силу, действующую в поле, потенциальная энергия которого равна Е_P = 2x²y + 5xy³, Дж. Ответ: , Н.
Решение.

Вектор силы равен градиенту потенциальной энергии со знаком минус: