Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Следствие: Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен
(х-а).
Для деления многочлена на двучлен можно использовать специальный прием, который обычно называют схемой Горнера.
Пусть р(х)=bx . Разделим p(x) на (x-a), получим p(x)=(x-a)g(x)+r,
Где g(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: g(x)=kx . Итак,

Раскрыв скобки в правой части, получаем

Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов, приходим к следующей системе равенств: b=k, c=m-ka, d=n-ma, e=s-na, f=r-sa.
Это значит, что неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями:
k=b;
m=ka+с;
n=ma+в;
s=na+e;
r=sa+f.
Эти соотношения удобно записывать в виде следующей таблицы.

	b	c	d	e	f
a	k=b	m=ka+c	n=ma+d	s=na+e	r=sa+f

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Любой многочлен  степени  с комплексными коэффициентами  можно представить в виде произведения линейных двучленов:



(B.13)

где  — корни многочлена кратности  соответственно, причем  . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно  корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.