Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

Quyidagi

izoperimetrik masalani qaraymiz. funksiya bu masalaning yechimidir. Shu masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari qoidasini qo’llab,
(10)
tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda funksiya (7) tenglik bilan aniqlanadi. (10) tenglamaga y^*(x) stasioanar funksiyaga mos keluvchi Yakobi tenglamasi deyiladi.

1. 9-ta’rif. Agar (10) Yakobi tenglamasi

shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan yechimga ega bo’lsa, nuqta nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi.
Agar funksiya , kesmalarda chiziqli bog’lanmagan bo’lsalar, qo’shma nuqtalarni quyidagicha aniqlash mumkin: faraz qilaylik, bir jinsli (ya’ni ) Yakobi tenglamasining shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin; – bir jinsli bo’lmagan ( ) Yakobi tenglamasining shartlarini qanoatlantruvchi yechimi bo’lsin; u vaqtda nuqta faqat va faqat

matrisa maxsus bo’lgan holdagina nuqtaga qo’shma nuqta bo’ladi.
2-teorema. Faraz qilaylik, , kuchsiz minimal (maksimal), – unga mos Lagranj vektori bo’lsin va funksiyalar ihtiyoriy uchun kesmalarda chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U holda quyidagilar bajariladi:
a) Lejandr sharti:
b) Yakobi sharti: intervalda nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
3-teorema. Faraz qilaylik, quyidagilar bajarilsin:
1) – ochiq to’plam;
2)
3)
4) shartli stasionar funksiya;
5) kuchaytirilgan Lejandr sharti:
6) kuchaytirilgan Yakobi sharti: oraliqda nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
U vaqtda y^*(x) - izoperimetrik masalada kuchli lokal minimal (maksimal) bo’ladi.
4-teorema. Faraz qilaylik, (1)-(3) masalada – kvadratik funksioanal, ya’ni

bo’lsin, bu yerda funksiyalar kesmada uzluksiz differensiallanuvchi, funksiyalr esa uzluksiz. Bundan tashqari shart bajarilsin. U holda, agar Yakobi sharti bajarilmasa izoperimetrik masalada bo’ladi. Agar kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa, shartli stasionar funksiya mavjud, yagona va unda funksional global minimum (maksimum) ga yerishadi.