Ózbekistan respublikasí joqarí bilimlendiriw ilim hám innovatsiyalar ministirligi

Dodekaedrdıń kólemi. Tiykarınıń júzin biyiklikke kóbeymesine teń
.
Ikosaedrdıń kólemi. .
Joqarıda keltirilgen bes túrdegi úzliksiz kópjaq tómendegi ulıwma qasiyetke iye: hár bir úzliksiz kópjaqda úshler menen jaqlar sanlarınıń jıyındısı qırlar sanınan eki artıq bolıp tabıladı. Haqıyqattan da hár bir úzliksiz kópjaq jaqları sanın f, úshleri sanın l, qırları sanın k penen belgilesak,
Tetraedr ushın : f=4, l= 4, k=6
Oktaedr ushın : f=8, l=6, k=12
Geksaedr ushın : f=6, l=8, k=12
Ikosaedr ushın : f=20, l=12, k=30
Dodekaedr ushın : f=12, l= 20, k=30
Bulardıń hámmesi ushın : f+l-k=2.
Bul qasiyet tek úzliksiz kópjaqlar ushın orınlı bolmaydıden, tómendegi teorema bul qasiyettiń keń klasstaǵı kópjaqlar ushın da orınlı ekenin tastıyıqlaydı.
Teorema (Eyler teoremasi). Hár qanday Durıs kópjaqnıń jaqları menen úshleri sanın jıyındısı qırları sanınan eki artıq bolıp tabıladı.
Tastıyıq. Qandayda bir M Durıs kópjaq berilgen bolıp, onıń jaqları sanı f, úshleri sanı l, qırları sanı k bolsın. Bul halda : f+l-k=q desek, q=2 ekenin tastıyıqlaymız.
Kópjaqnıń barlıq jaqları birlespesin S penen belgilep, onı kópjaq kópjaq sırtı dep ataylik. S den bir yoqnıń ishki bólegin shıǵarıp taslaylik, ol halda qalǵan betti S₁ desek, Bul sırtındaǵı jaqlar sanı f₁ Aldınǵı sırtqa salıstırǵanda bir azayıp, úshler sanı l₁, qırlar sanı k₁ ózgermay qaladı, demek,
S₁ ushın f₁+l₁-k₁=q-1
Bul waqıtta eki hal júz beriwi múmkin:
1-jaǵday: S₁ Dıń barlıq jaqları tek úshmúyeshliklerden ibarat bolıwı múmkin. Tek bir yoqqa tiyisli qırdı (uchni) shegaralıq qır dep ataylik. Shegaralıq qır yamasa úsh bolǵan yoqni da shegaralıq jaq dep ataylik. Bunnan usıdan ayqın boladı, Durıs kópjaqnıń sırtı shegaralıq yoqqa, shegaralıq qırǵa hám shegaralıq uchga iye emes. Mısalı, parallelepiped sırtında shegaralıq qır hám shegaralıq úsh joq, lekin bir yoqnıń ishin shıǵarıp taslasak, qalǵan sırtında 4 shegaralıq qır boladı.
Durıs kópjaqnıń sırtı keminde bir shegaralıq bolmaǵan qırǵa egaligidan shegaralıq jaq úshmúyeshlikten ibarat bolǵanda ol jaǵdayda bir yamasa eki shegaralıq qır hám birden artıq bolmaǵan shegaralıq úsh bolıwı múmkin. Ayqınki, jaq úshmúyeshlikten ibarat bolǵanda, ol shegaralıq uchga ıyelewi ushın álbette eki shegaralıq qırǵa ıyelewi kerek. S₁ sırtından shegaralıq elementlerge iye bolǵan bir yoqnıń ishin shegaralıq elementleri menen shıǵarıp taslaymiz, qalǵan betti S₂ Menen, onıń jaqları, qırları hám úshleri sanın uyqas túrde f₂, l₂, k₂ Menen belgilep f₂+ l₂- k₂ Ni esaplaylik. Eger shıǵarıp taslanǵan jaq bir shegaralıq qırǵa iye bolsa (berjaqta shegaralıq úsh bolmaydı ),f₂+ l₂- k₂=(f-l)+l₁-(k₁-1)=f₁+l₁-k₁=q-1, Eger Shıǵarıp taslanǵan jaq eki shegaralıq qırǵa iye (álbette bul waqıtta bir shegaralıq úsh da sol yoqqa tiyisli bolıp tabıladı) bolsa,
f₂+ l₂- k₂=(f₁-l)+(l₁-1)-(k₁-2)=f₁+l₁-k₁=q-1.
Demek, shegaralıq qırǵa iye bolǵan bir yoqnıń ishin shegaralıq elementleri menen shıǵarıp taslasak, f₁+l₁-k₁ ańlatpa ózgermeydi. Tap soǵan uqsas, S₂ Den shegaralıq elementke iye bolǵan bir yoqnıń ishin shegara elementleri menen shıǵarıp taslasak da,
f₃+l₃-k₃=q-1
Sol jumıstı dawam ettirip, aqırı bir úshmúyeshlik (S kóp tarepli bettiń bir mayı ) qolguncha dawam ettiremiz, ayqınki, úshmúyeshlik ushın f+l-k=1 . Jaqlardı birden kemeytiwde f_t+l_t-k_t Ańlatpa mudami q-1 ge teń bolıp, qalǵanı ushın q-1=1 yamasa q=2. Sonı tastıyıq etiw talap etilgen edi.
2-jaǵday: S₁ Bettiń jaqları arasında tárepi úshewden kóp bolǵan jaq bolıwı múmkin. Berjaqtıń sonday dioganalini ótkeramizki, nátiyjede berjaqta keminde bir úshmúyeshlik payda bolsin, Eger sol dioganalni S₁ Dıń qırı dep, payda etilgen úshmúyeshlikti de bir jaq desek, S₁ de qır hám jaqlar sanı birden artıp, úshler sanı ózgermeydi, demek, f₁+l₁-k₁ Ańlatpa da ózgermeydi.
Úshmúyeshlikli bolmaǵan jaqlardı úshmúyeshlikli jaqlarǵa keltiriwi menen f₁+l₁-k₁ Ańlatpa ózgermeytuǵın eken. Ol halda S1 dıń barlıq jaqları úshmúyeshlikten ibarat bolıp, 1-halǵa keltiriledi.