Zbekiston respublikasi axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot

---

 
O
‘
ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA 
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI 
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT 
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
 
KAFEDRA: Sun’iy intellekt
FAN: Tizimlar va signallarni qayta ishlash 
 
 
 
Mustaqil ish 
Mavzu: Bazislarda spektral analiz algoritmlari 
 
 
 

 

Bajardi: Abduraximov Fazliddin 
Tekshirdi: Azimov Bunyod
Toshkent - 2021 

---

Reja: 
Kirish 
I. Xaara bazislarida spektral analiz asoslari 
II. Arrasimon o'zgartirish algoritmi va matrisasi 
III. Lokal spektral o'zgartirishlarning algoritmlari 
Xulosa 
Foydalanilgan adabiyotlar va saytlar 
Аxborot-kommunikatsiyalarini jadal surʼatlar bilan rivojlanishi signal va tasvirlarga 
raqamli ishlov berishning, ularning matematik va dasturiy taʼminotini yaratish boʼyicha 
bir qator ilmiy tadqiqot ishlari olib borish zaruriyligi zamon talabi boʼlib qoldi. Bu 
ishlarda signallar va tasvirlarni filtrlash, interpolyatsiyalash va detsimatsiyalash hamda 
ularni tarmoq orqali uzatishda vaqtdan yutish, xotirada saqlaganda kam joy egallashi 
kabi masalalar uchun unumli matematik metod va algoritmlar yaratish sohasi muhim 
rol tutmoqda.Bunday masalalarni yechishda bir qator olimlar ilmiy izlanishlar olib 
borgan, jumladan, xorijda J.Walsh, W.Prett, Dr. Pawel, Dobeshi, Oʼzbekistonda 
M.Musaev, X.Zayniddinov, R.Аloev, M.Аripov, А.QobulovlarYuqoridagi masalalarni 
yechishda odatda bazaviy almashtirishlarning eng samarali tanlab olinadi. Signallarni 
qayta ishlashda Furye almashtirishlari muhim boʼlsada, ularni raqamli koʼrinishga 
oʼtkazishda Uolsh-Аdamar almashtirishlari samaraliroqdir. Bundan tashqari, Uolsh-
Аdamar almashtirishining bazis funktsiyalari matritsalari -1 va 1 sonlaridan iboratligi 
hisoblash vositalarining tezligi, aniqliligi va soddaliligini taʼminlaydi. Shuningdek, 
matritsalarning oʼlchovlari 2 ning darajalarida ifodalanishi ham hisoblashning 
soddalashtiradi. Xaara almashtirishida bazis funktsiyalari matritsalari 2, -1, 1, 2 
sonlaridan 
Bazislarda spektral analiz algoritmlar. 

---

FURYE (Fourier) Jan Batist Jozef — fransuz matematigi, Parij FA aʼzosi 
(1817). Oserdagi harbiy maktabni tugatgan, oʻsha maktabda, keyin Politexnika 
maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98). Dastlabki ilmiy ishlari algebraga 
doir. Asosiy ilmiy ishlari matematik fizikaga oid. 
Furye o’zgartirish (f) – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini, boshqa 
funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga solishtirish, bu yangi funksiya reja 
tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini 
har-xil chastotasi bilan amplituda kaefsentini tavsiflaydi. 
X[n] diskret signali N ta nuqtali davrga ega bo‘lsin. Bu holda uni diskret 
sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish 
mumkin: 
O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz, lekin endi 
– fazalarsiz) 
Bazisli sinusoidlar karrali chastotalarga ega. Qatorning birinchi a’zosi 
(k = 0) 
– signalning doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi 
sinusoidlar 
(k = 1) shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi 
bilan mos. Eng yuqori chastotali tashkil etuvchi 
(k = N/2) shunday chastotaga 
egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. A
k 
va B
k 
koeffitsienlari signal spektri deb 
ataladi. 
Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun A
k 
va B
k 
koeffitsientlarini 
aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining 
summasini hisoblagan holda dastlabki signalni tiklash mumkin. Signalni 
sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri 
o‘zgartirishi deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi 
– Furyening teskari o‘zgartirishi deb ataladi. 
Furye teskari o‘zgartirish algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida 
mavjud; sintezni olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish 
kerak). Furye to‘g’ri o‘zgartirishining algoritmini ko‘rib chiqamiz, ya’ni A
k 
va B
k 
koeffitsientlarning topilishi. 

---

n argumentdan funksiya tizimi N davrli davrli diskret signallari fazosida 
orthogonal bazis hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini taqsimlash 
uchun tizimning barcha funksiyalari bilan elementning skalyar ko‘paytmalarini 
hisoblab, va olingan koeffitsientlarni normallashtirish degani. Shunda dastlabki 
signal uchun A
k 
va B
k 
koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi 
haqiqiy bo‘ladi. 
Shunday qilib, A
k 
va B
k 
koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida 
hisoblanadi (uzluksiz holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan integrallar, diskret 
holatda – diskret signallar ko‘paytmasi summalari): 
𝐴
𝑘
=
𝑁
2
∑
𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑘𝑖
𝑁
𝑁−1
𝑖=0
, bunda k=1,……, 
𝑁
2
− 1 
𝐴
𝑘
=
𝑁
2
∑
𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑘𝑖
𝑁
𝑁−1
𝑖=0
, bunda k=0 , 
𝑁
2
(2.4)
𝐵
𝑘
=
𝑁
2
∑
𝑥[𝑖]𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑘𝑖
𝑁
𝑁−1
𝑖=0
, bunda k=0,……, 
𝑁
2
Savol paydo bo‘ladi: nima uchun dastlabki signalda N sonlar, N+2 
koeffitsientlar yordamida yoziladi? Savolga javob quyidagicha bo‘ladi: B
0 
va B
N/2 
koeffitsientlari har doim nolga teng (chunki ularga mos keluvchi “bazisli” signallar 
diskret nuqtalarda ayniy ravishda nolga teng), va ularni Furyening to‘g’ri va teskari 
o‘zgartirishini hisoblashda tashlab yuborish mumkin. 
Hozirgacha biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ 
ni kompleksli signallar holati bilan birlashtiramiz. x[n], n=0,…,N-1– N kompleks 
sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1 
belgilaymiz – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil 
topgan. Shunda Furye to‘g’ri va teskari o‘zgartirishining quyidagi formulalari 
haqiqiy. 
𝑋[𝑘] = ∑
𝑥[𝑛]𝑒
−𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)
𝑁−1
𝑛=0
(2.5) 
𝑋[𝑛] =
1
𝑁
∑
𝑋[𝑘]𝑒
𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)
𝑁−1
𝑘=0
Agar bu formulalar bilan spektrga haqiqiy signal taqsimlansa, unda birinchi 
N/2+1 spektrning kompleksli koeffitsientlari “kompleksli” ko‘rinishda keltirilgan 
“oddiy” haqiqiy DPF spektr bilan mos tushadi, qolgan koeffitsientlar esa 
diskretizatsiya chastotasining yarmiga nisbatan ularning simmetrik aksi bo‘ladi. 
kosinusli koeffitsientlar aksi juft, sinuslar uchun esa – toq. 

---

Xaara funksiyasi tizimlari teoretik va amaliy masalalarni katta sinfini 
yechishda texnika va fanning turli sohalarida keng qo‘llanilishga ega. Bu bu bazis 
funksiyalarning qator ajoyib xususiyatlari va ular uchun spektral analizning 
videoeffektli hisoblash algoritmlari mavjudligi bilan bog’liq. Ixtiyoriy asosli 
hisoblash tizimida sonlarni ko‘rsatish holatidagi funksiya ma’lumotlarini 
umumlashtirish imkoniyati ham muhim ahamiyatga ega. 
Xaaraning normallashgan funksiyalari ko‘p ma’noli funksiya hisoblanadi. 
Shuning uchun spektral qayta ishlash amaliyoti uchun atiga uch oddiy qiymatlarni 
(0, +1 va -1) qo‘llaydigan Xaaraning normallashgan funksiyalari ancha qulay 
hisoblanadi. Bunday funksiyalar analitik tarzda quyidagi ifoda bilan beriladi va 
belgio‘zgaruvchanlik xarakteriga ega, bunda birinchi turning uzilishning ichki 
nuqtalarida o‘ng tomonda uzluksiz qabul qilinadi. 
Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki, har bir guruh chegarasida bir xil quvvatga ega 
Xaara funksiyalari yig’ilgan.Xaara funksiyalarini Uolsh funksiyasidan yana quyidagi 
tarzda olish mumkin.Uolshning birinchi funksiyasini [0,1) intervalda tanlaymiz va uni 
intervaldan tashqarida nolga teng deb olamiz(2.1-rasm). 
2.1 – rasm. N=8 uchun Xaara funksiyalari tizimi 

---

Endi bu funksiyani yarim intervalda z o‘qi bo‘yicha ikkiga qirqamiz. Bunda 
Xaara funksiyasi hosil bo‘ladi. siqilgan Uolsh funksiyasini z o‘qi bo‘yicha 
aniqlanish intervalining yarimiga o‘nga siljitamiz, unda Xaaraning ikkinchi guruhi 
barcha funksiyalari hosil qilinadi. Siqilgan funksyalarni siqish va siljitish jarayonini 
berilgan N qiymati uchun Xaara funksiyasining to‘liq tizimi qurilishigacha davom 
ettirish mumkin[14]. Qiziq, yoritilgan.Xaaraning siqish va siljitish jarayonlarini Uolsh 
va Xaara tizimlari orasida o‘rta o‘rinlarni egalaydigan tizimlarini hosil qilgan holda 
Uolshning boshqa funksiyalariga ham qo‘llash mumkin. Bundan tashqari, bunday 
jarayonni boshqa bazis funksiyalarga qo‘llash mumkin, masalan: trigonometriyaga. 
Aynan shunday yondashuv veyvletlar qurilishida ishlatiladi(2.2-rasm). 
2.2-rasm. N=16 uchun Xaara funksiyalari tizimi. 
Xaara funksiyalari multiplikativ hisoblanmaydi, chunki bunday 
funksiyalarning ikkitasining ko‘paytmasi Xaara tizimiga tegishli bo‘lmagan 
natijalovchi funksiyani beradi. Shu sababdan Xaara spektrlari multiplikativ bazislar 
spektri hususiyatiga ega emas. Shunga qaramay alohida signallarning Xaara 
spektrlari bir qator foydali xususiyatlarga ega. Masalan, doimiylik qismlarining 
ikkilik-ratsional soniga ega bo‘lak-doimiy signalning Xaara spektri yakuniy va