Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таьлим вазирлиги фарғона давлат университети

Оддий итерация методи.
Фараз қилайлик,
(11)
система бирор усул билан
(12 )
кўринишга келтирилган бўлсин, қандай келтириш кераклигини кейинчалик кўриб ўтамиз ва дастлабки яқинлашиш вектори бирор усул билан (масалан, каби) топилган бўлсин. Агар кейинги яқинлашишлар
(13)
рекуррент формулалар ёрдамида топилса, бундай метод оддий итерация методи дейилади. (12) дан кўрамизки, оддий итерация методи бу биринчи тартибли тўлиқ қадамли иттерацион методдир. Агар (13) кетма-кетликнинг лимити мавжуд бўлса, (бу лимит (13) системанинг, (шу билан (11) системанинг ҳам) ечими бўлади. Ҳақиқатан ҳам, (13) тенгликда лимитга ўтсак, келиб чиқади.
Оддий итерация методининг яқинлашиш шартини аниқлайлик.
1-теорема. (13) оддий итерация жараёни ўзининг ихтиёрий дастлабки яқинлашиш вектори да яқинлашувчи бўлиши учун В матрицанинг барча хос сонлари бирдан кичик бўлиши зарур ва кифоядир.
Исбот. Зарурлиги. Фараз қилайлик, ихтиёрий дастлабки вектор учун лимит мавжуд бўлсин. У ҳолда
(13)
ни бу тенгликдан айириб, қуйидагиларни ҳосил қиламиз:

Энди вектор k га боғлиқ бўлмаганлиги учун

тенгликда лимитга ўтсак,

келиб чиқади.
Кифоялиги. (13) орқали аниқланадиган барча яқинлашишларни дастлабки вектор ва орқали ифодалаймиз:


Энди, фараз қилайлик, В нинг барча хос сонлари бирдан кичик бўлсин. У ҳолда 7 -§ даги 1-лемма ва 4-теоремага кўра

Демак, қандай бўлишидан қатъи назар яқинлашувчи кетма-кетликдир.
Исбот қилинган теорема назарий жиҳатдан фойдали, чунки у мавжуд ҳақиқатни аниқ ифодалайди. Лекин, амалий ишлар учун ярамайди. Энди В матрицанинг элементлари орқали ифодаланадиган кифоялилик белгисини келтирамиз.
2-теорема. (13) оддий иттерация жараёнининг яқинлашувчи бўлиши учун В матрицанинг бирор нормаси бирдан кичик бўлиши кифоядир.
Исбот. Ҳақиқатан ҳам, агар бўлса, 7 -§ даги 3-леммага кўра бу матрицанинг барча хос сонлари модуллари бўйича бирдан кичик бўлиб, бундан 1-теоремага асосан оддий итерацион жараённинг яқинлашишлиги келиб чиқади. 2-теорема бир неча қулай кифоялилик белгиларини келтиришга имкон беради.