Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

1–§. Дискрет тасодифий миқдор эҳтимолларининг тақсимот қонуни. Биномиал ва Пуассон қонунлари
Тасодифий миқдор деб аввалдан номаълум бўлган ва олдиндан инобатга олиб бўлмайдиган тасодифий сабабларга боғлиқ бўлган ҳамда синов (тажриба) натижасида мумкин бўлган қийматлардан биттасини қабул қилувчи миқдорга айтилади.
Тасодифий миқдорларнинг икки хилини кўрамиз:

1. 
   Дискрет тасодифий миқдор.
   
2. 
   Узлуксиз тасодифий миқдор.
   

Тасодифий миқдорнинг қабул қиладиган қийматлари алоҳида–алоҳида олинган миқдорлардан (масалан, бутун ва рационал сонлардан) иборат бўлса, у дискрет тасодифий миқдор дейилади.
Агар тасодифий миқдор (а;b) ёки (–∞;+∞) оралиқдаги ихтиёрий қийматни қабул қила олса, у узлуксиз дейилади.
Тасодифий миқдорларни Х,Y,Z ҳарфлари билан, уларнинг қабул қиладиган қийматларини х, у, z лар билан белгилаймиз. Масалан, Х тасодифий миқдор 5 та қийматни қабул қилади дейилса, буни х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ каби ёзамиз. Аввал дискрет тасодифий миқдорлар устида тўхтаб ўтамиз.
Дискрет тасодифий миқдор берилган бўлиши учун унинг қабул қиладиган қийматлари ва бу қийматларни қабул қилиш эҳтимоллари кўрсатилиши керак. Дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни деб тасодифий миқдор қабул қиладиган қийматлар билан уларнинг эҳтимоллари орасидаги ўрнатилган мосликка айтилади. Масалан, н та қиймат қабул қилувчи тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунини қуйидагича ёзиш мумкин:

бу ерда Р{х=х_i}=р_i ва р₁+р₂+. . .+р_п=1. Тақсимот қонунининг графиги тақсимот кўпбурчаги дейилади. Бу графикни ясаш учун М₁(х₁, р₂), М₂(х₂, р₂), . . . , М_п(х_п , р_п) нуқталар тўғри бурчакли координаталар системасида ясалади ва улар тўғри чизиқ кесмалари билан туташтирилади. Дискрет тасодифий миқдорнинг баъзи тақсимот қонунларини келтирамиз.
а) Биномиал тақсимот қонуни. Биз юқорида ҳар бир синовда А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли Р(А)=р ва рўй бермаслик эҳтимоли Р( )=q=1–р бўлса, п та эркли синовда А ҳодисанинг роппа–роса к марта рўй бериш эҳтимоли Р_п (к) Бернулли формуласи ёрдамида топилишини кўрган эдик. А ҳодисанинг п та эркли синовда рўй беришлар сони Х дискрет тасодифий миқдор бўлиб,
унинг қабул қилиши мумкин бўлган қийматлари 0, 1,2, 3, . .., п бўлади.
Агар Х тасодифий миқдор 0, 1, 2, . . . , п қийматларни
П_н {Х=к}= эҳтимол билан қабул қилса, бу тасодифий миқдор биномиал тақсимотга эга дейилади. Биномиал тақсимотни қуйидаги жадвал кўринишида ёзиш мумкин:

б) Пуассон тақсимот қонуни. Агар Х тасодифий миқдор 0, 1, 2, ... қийматларни эҳтимоллар билан қабул қилса, Х тасодифий миқдор Пуассон тақсимотига эга дейилади. Пуассон тақсимоти жадвали қуйидагичадир:

Баъзан Пуассон тақсимотини кам рўй берадиган ҳодисалар тақсимоти ҳам дейилади. Бу тақсимот қонунидан р етарли кичик ва п етарли катта бўлиб, =np=cоnst<10 бўлганда фойдаланиш мақсадга мувофиқ.
1– мисол. Экилган ҳар бир чигитнинг униб чиқиш эҳтимоли 0,8 га тенг бўлса, экилган 3 та чигитдан униб чиқишлар сонининг тақсимот қонунини тузинг.
Экилган ҳап бир чигит униб чиқиш хам, униб чиқмаслиги ҳам мумкин бўлгани сабабли экилган 3 та чигитдан униб чиқишлар сони Х биномиал тақсимотга эга бўлган тасодифий миқдор бўлади. Тасодифий миқдор Х нинг қабул қиладиган қийматлари х₁=0; х₂=1, х₃=2, х₄=3 бўлиб, бу қийматларни қабул қилиш эхтимолларини Бернулли формуласи ёрдамида топамиз:



Демак, экилган 3 та чигитдан униб чиқишлари сони Х тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни қуйидагича бўлади:

Текшириш:

2–мисол. Лампочка заводида 10000 та лампочка ишлаб чиқарилган. Ҳар қайси лампочканинг брак бўлиш эҳтимоли р=0,0001 га тенг. Бу лампочкалар ичидан таваккалига 4 та лампочка олинган. Яроқсиз лампочкалар сонининг тақсимот қонунини ёзинг.

Лампочкалар сони катта ва брак бўлиш эхтимоли кичик бўлганлиги учун Пуассон формуласидан фойдаланиш қулай н=10000, п=0,0001, =пр=1, к=0, 1, 2, 3, 4 бўлгани учун Пуассон формуласига асосан:



Демак қаралаётган тасодифий миқдорнинг тақсимот конуни.

яъни

кўринишда бўлади.
Бу ерда , чунки, юқорида айтганимиздек, Пуассон формуласи тақрибий формуладир.
3–мисол. Дискрет тасодифий миқдор ушбу тақсимот қонуни билан берилган:

Тақсимот кўпбурчагини ясанг.
Тўғри бурчакли координаталар системасининг абсциссалар ўқи бўйлаб х_и қийматларни, ординаталар ўқи бўйлаб уларга мос п_и қийматларни қўямиз. Хосил бўлган М₁(2; 0,3), М₂(4; 0,1), М₃(5; 0,2), М₄(6; 0,4) нуқталарни ясаймиз. Бу нуқталарни си­ниқ чизиқ билан туташтириб, тақсимот кўпбурчагини ҳосил қиламиз (2.1 – чизма).

2.1 – чизма
1. Экилган ҳар бир дарахтнинг кўкариш эҳтимоли 0,9 бўлса, экилган 3 та дарахтдан кўкарганлари сони­нинг тақсимот қонунини тузинг.
Жавоб.
2. Отилган ўқнинг нишонга тегиш эҳтимоли 0,6 га тенг. Отилган 4 та ўқдан нишонга тегиш сонининг тақсимот қонунини тузинг.
Жавоб.
3. Танга икки марта ташланди. Гербли томон тушиш сонини билдирувчи Х тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунини тузинг.
Жавоб.
4. Яшикдаги 100 та деталнинг 10 таси яроқсиз. Таваккалига олинган 2 та деталдан яроқсиз бўлиш сонининг тақсимот қонунини тузинг ва графигини ясанг.
Кўрсатма, формуладан фойдаланинг.
Жавоб.
5. Ҳар бир тўп ғўзанинг вильт касалига чалиниш эҳтимоли 0,001 бўлса, таваккалига олинган. 2000 туп ғўзадан вильт касалига чалинганлари сонининг тақсимот қонунини тузинг.
Кўрсатма. Пуассон тақсимотидан фойдаланинг.