Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

8–§. Муавр – Лаплас интеграл теоремасининг татбиқи
Фараз қилайлик, Муавр–Лапласнинг интеграл теоремасидаги барча шартлар бажарилган бўлсин. m/n нисбий частотанинг ўзгармас р эҳтимолидан четлашишининг абсолют қиймати бўйича аввалдан берилган >0 сондан катта бўлмаслик эҳтимолини топиш масаласини кўрайлик. Ушбу

тенгликни эътиборга олсак, Муавр–Лапласнинг интеграл теоремасига кўра қуйидагига эга бўламиз:

Бу муносабат Бернулли схемаси учун катта сонлар қонуни ёки Бернулли теоремаси дейилади. Бернулли теоремаси эҳтимоллар назариясининг асосий теоремаларидан ҳисобланиб, бу теорема ёрдамида кўпгина амалий масалалар ҳал қилинади.
Шундаи қилиб, тенгсизликнинг рўй бериш эҳтимоли тақрибан Лаплас функциясининг нуқтадаги қийматининг иккиланганига тенг экан:
Қуйидаги масалаларнинг ечилиши билан танишайлик.
1–масала. Тажриба танга ташлашдан иборат бўлсин. А–ташланган танганинг гербли томони билан тушиш ҳодисаси бўлсин. Тангани 400 марта ташланганда А ҳодиса нисбий частотаси нинг эҳтимолдан абсолют қиймат бўйича четлашиши 0,08 дан кичик бўлиш эҳтимолини топинг.
Масаланинг шартига кўра п=400, р=q= , =0,08. У ҳолда юқоридаги формулага кўра:

Жадвалдан Ф(3,2)=0,49931 топилади. Демак,

2–масала. Қоракўл терининг яроқсиз чиқиш эҳтимоли р=0,09 га тенг бўлсин. Нечта қоракўл тери олинганда қорaкўлнинг яроқсиз чиқиш нисбий частотасининг 0,09 эҳтимолдан фарқи абсолют қиймати жиҳатидан 0,02 дан кичик бўлиш эҳтимоли, 0,9962 га тенг бўлади.
Шартга кўра р = 0,09; q=0,91; =0,02,

Бу ифодадан п ни топамиз. Муавр–Лапласнинг интеграл формуласига кўра

бўлгани учун, =0,9982 ёки

=0,4981 бўлади.
Жадвалдан Ф(2,9)=0,4981 эканини топамиз.
Демак, 0,071 =2,9; п = 1664.
3–масала. Ўзаро боғлиқ бўлмаган тажрибаларнинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли 0,25 га тенг. 600 та тажриба ўтказилганда 0,92 эҳтимол билан ҳодиса рўй беришининг нисбий частотаси ҳодиса эҳтимолидан қанчагача четлашиши мумкин?
∆. Шартга кўра р=0,25; q=0,75; n=600.



Бундгн қуйидагиларни ёза оламиз:



ёки



Жадвалдан Ф (1,755)=0,45 эканини топсак, бўлади.
Демак, =0,031
.
63. Ўзаро боғлиқ бўлмаган 625 та тажрибанинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли 0,8 га тенг. Ҳодисанинг рўй бериш нисбий частотасининг унинг эҳтимолидан четлашиши абсолют қиймати бўйича 0,04 дан катта бўлмаслик эҳтимолини топинг.
Жавоб.
64. Ўзаро боғлиқ бўлмаган тажрибаларнинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли 0,5 га тенг. Ҳодиса рўй бериш нисбий частотасининг унинг эҳтимолидан четлашиши абсолют қиймати бўйича 0,02 дан ортиқ бўлмаслигининг 0,7698 эҳтимол билан кутиш мумкин бўлиши учун нечта тажриба ўтказиш керак? Жавоб. п=900.
65. Ўйин соққасини ушбу тенгсизликнинг эҳтимоли қарама–қарши тенгсизликнинг эҳтимолидан кичик бўлмаслиги учун неча марта ташлаш лозим (бу ерда т ўйин соққасини п марта ташлашда беш очко чиқиш сони)? Жавоб. п 632.
66. Техник контрол бўлими 900 та деталнинг стандартга мувофиқлигини текширади. Деталнинг стандартга мувофиқ бўлиш эҳтимоли 0,9 га тенг. Шундай  мусбат сон топингки, деталнинг стандарт бўлиш эҳтимоли нисбий частотасининг унинг эҳтимоли 0,9 дан четлашишининг абсолют қиймати  дан катта бўлмаслигини 0,9544 эҳтимол билан кутиш мумкин бўлсин.
Жавоб. = 0,02.
67. Техник контрол бўлими 475 та буюмнинг яроқлигини текширади. Буюмнинг брак бўлиш эҳтимоли, 0,05 га тенг. Текширилган буюмлар орасида браклари сони т нинг ётадиган чегараларини 0,9426 эҳтимол билан топинг.
Жавоб. 14 то 32.

II.боб ТАСОДИФИЙ МИҚДОРЛАР