Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

Дисперсиянинг хоссалари
1. Ўзгармас миқдорнинг дисперсияси нолга тенг: Д(С)= 0.
2.Ўзгармас кўпайтувчига дисперсия белгиси олдига квадратга кўтариб чиқариш мумкин: Д(CХ)=C²Д (Х)
3. Иккита боғлиқ бўлмаган тасодифий миқдорлар алгебраик йиғиндисининг дисперсияси уларнинг дисперсиялари йиғиндисига тенг:
Д(Х±Y)=Д(Х) +Д(Y).
4. Агар А ҳодиса п та боғлиқ бўлмаган тажрибанинг ҳар бирида р эҳтимол билан рўй берса, рўй беришлар сони Х нинг дисперсияси Д(х)=npq га тенг бўлади.
Дискрет тасодифий миқдорнинг ўртача квадратик четланиши деб унинг дисперсиясидан олинган квадрат илдизга айтилади:

1–мисол. Тақсимот қонуни билан берилган қуйидаги тасодифий миқдорнинг математик кутилишини толинг:



М(Х)=х₁р₁+ х₂р₂+ …. x_n р_n формуладан фойдаланамиз.
М(Х)=120,4+140,3 + 180,1 + 240,1 + 270,1=4,8+4,2+1,8+2,4+2,7= 15,9. 2–мисол. Х тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни қуйидагича берилган:
а)

б)

Тасодифий миқдорнинг математик кутилишини, дисперсиясини, ўртача квадратик четланишини топинг.
а) математик кутилиш таърифига кўра:
М(Х)=100,1+120,2+200,1+250,2+300,4=1+2,4+2+5+12 =22,4.
Дисперсиясини ҳисоблаш учун формуладан фойдаланамиз. Бунинг учун Х² нинг тақсимот қонунини тузиб чиқамиз:

М(Х²) ни ҳисоблаймиз:
М(Х²)=1000,1+1440,2+4000,1+6250,2+900×0,4=
=10+28,8+40+125+360=563,8.

Д(Х)=М(Х²)–[М(Х)]²=563,8–(22,4)²=62,04.

Демак, Д(Х)= 62,04. Ўртача квадратик четланишни топамиз:

б) Математик кутилишини юқоридаги каби топамиз:

М(Х)=300,5+400,1+500,2+600,1+700,1=15+4+10+6+7= 42.
М(Х) = 42.
Дисперсияни формуладан фойдаланиб топамиз. Бунинг учун [Х–М (Х)]² нинг тақсимот қонунини тузамиз:

<144=(30–42)², 4=(40–42)² ва ҳ. к. <
Д(Х)=М[Х–М(Х)]²=1440,5+40,1+640,2+324×0,1+7840,1=
=72+0,4+12,8+32,4+78,4=196,0.
Д(Х)=196.


Ўртача квадратик четланиш:
3–мисол. Агар Х ва Y тасодифий миқдорларнинг математик кутилишлари маълум: М(Х)=3, М(Y)=5 бўлса,
а) Z=2Х+3Y; б) Z=3Х–Y
тасодифий миқдорларнинг математик кутилишларини топинг.
Математик кутилишнинг хоссаларидан фойдаланамиз (алгебраик йиғиндининг математик кутилиши математик кутилишлар алгебраик йиғиндисига тенг; ўзгармас кўпайтувчини математик кутилиш белгиси олдига чиқариш мумкин):
а) М(Z)=М(2Х+3Y)=М(2Х)+М(3Y)=2М(Х)+ЗМ(Y)=23+35=21; М(Z) = 21.
б) М(Z)=М(ЗХ–Y)=ЗМ(Х)–М(Y)=33–5=4; М(Z)=4.
4–мисол. Боғлиқ бўлмаган (эркли) Х ва Y тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонунлари берилган:



Z=Х+Yва Z=ХY тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонунларини тузинг ва М(Z)= М(Х+Y)=М(Х)+М(Y) ва М(Z)=М(ХY)=М(Х)М(Y) эканлигини текширинг.
Аввал Z=Х+Yтасодифий миқдорнинг тақсимот қонунини тузамиз.
Бунинг учун Х+Y нинг мумкин бўлган қийматларини ва уларни қабул қилиш эҳтимолларини топамиз:
z₁= –1 + 0; z₂= –1+1; z₃= –1+2; z₄= –1+3;
z₅= 0+0; z₆=0+1; z₇=0+2; z₈=0 + 3;
z₉= 1+0; z₁₀=1+1; z₁₁=1+2; z₁₂=1+3