Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

4–§. Тасодифий микдор эҳтимолларининг тақсимот функциялари


1. Интеграл функция. Х тасодифий миқдорнинг тақсимот функцияси ёки интеграл функцияси деб
Р(Х)<х)=Ф(х)
тенглик билан аниқланган Ф(х) функцияга айтилади. Тақсимот функцияси (дискрет ёки узлуксиз ҳолда ҳам) тасодифий миқдор қонуниятининг умумийроқ формада берилишидир. Тақсимот функцияси узлуксиз дифференциалланувчи бўлган тасодифий миқдор узлуксиз тасодифий миқдор дейилади.
Тасодифий миқдор тақсимот функцияси қуйидаги хоссаларга эга:
1) Интеграл функциянинг қийматлари [0,1] кесмага тегишли, яъни
0≤Ғ(х) ≤1.
2) Интеграл функция камаймайдиган функция.
3) Агар Х тасодифий миқдорнинг барча мумкин бўлган қийматлари (а, б) интервалга тегишли булса, у ҳолда х≤а бўлганда Ғ(х)=0, х≥b бўлганда Ғ(х)=1.
Тақсимотнинг интеграл функцияси таърифидан, яъни P{Х<х}=Ғ(х) дан Ғ(-)=0 ва Ғ(+)= 1 келиб чиқади.
Натижа. Узлуксиз тасодифий миқдорнинг битта тайин қийматни қабул қилиш эҳтимоли нолга тенг:
P{Х=х₁} = 0.
Узлуксиз тасодифий миқдорнинг [а, b] интервалга тушиш эҳтимоли Р{а≤Х≤b}=Ф(b)–Ф(а) га тенг.
2. Узлуксиз тасодифий миқдор эҳтимоллари тақсимотининг дифференциал функцияси. Эҳтимоллар тақсимотининг дифференциал функцияси деб, интеграл функциядан олинган биринчи тартибли ҳосилага айтилади:

Дифференциал функция қуйидаги хоссаларга эга:
1) Дифференциал функция манфий эмас: яъни f(х)≥0.
2) .
Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг (а, б) интервалга тегишли қийматни қабул қилиш эҳтимоли

тенглик билан аниқланади.
Агар дифференциал функция маълум бўлса, интеграл функцияни қуйидагича топиш мумкин:
3. Узлуксиз тасодифий миқдорнинг сон характеристикалари. Агар Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари бутун Ох ўққа тегишли бўлса, унинг математик кутилиши

билан, унинг дисперсияси эса,

формула билан аниқланади.
Хусусий ҳолда, агар Х тасодифий миқдорнинг барча мумкин бўлган қийматлари (а, b) интервалга тегишли бўлса, у ҳолда унинг математик кутилиши

формула билан, дисперсияси эса

формула билан аниқланади.


Умуман дисперсияни қуйидаги формула орқали ҳисоблаш мумкин:

Тасодифий миқдорнинг ўртача квадратик четлиниши деб дисперсиядан олинган квадрат илдизга айтитади:

1–мисол. Дискрет тасодифий миқдор Х қуйидаги тақсимот қонуни билан берилган:

Тақсимот интеграл функция сини топинг ва графигини ясанг.
Дискрет тасодифий миқдор учун

бўлганидан қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
агар х≤ 1 бўлса, F(х)=0;
агар 1<х≤2 бўлса, F(х)= 0,1;
агар 2<х≤3 бўлса, F(х)= 0,1+ 0,15 = 0,25;
агар 3< х≤4 бўлса, F(х)=0,1+ 0,15+ 0,2 = 0,45;
агар 4<х≤5 бўлса, F(х) =0,1+0,15+0,2+0,35 = 0,8;
агар х>5 бўлса, F(х)= 0,8 + 0,2 = 1 бўлади.
Яъни
Тақсимот интеграл функциясининг графиги қуйидагича бўлади:



2.2– чизма

2–мисол.Тасодифий миқдор Х тақсимотининг интеграл функцияси қуйидагича:

Х тасодифий миқдорнинг [0,5, 1,5] интервалдан қиймат қабул қилиш эҳтимолини топинг.
[0,5; 1,5] интервал [0, 2] интервал ичида ётгани учун Р{а<хформулага асосан:
Р{0,5<х<1,5}=F(1,5)–F(0,5) = {(1,5)³– (0,5)³≈0,4063.
3–мисол. Интеграл функцияси қуйидагича

бўлган узлуксиз тасодифий миқдор Х нинг;

а) дифференциал функциясини;
б) дифференциал функциядан фойдаланиб P{0<х<1} эҳтимолини топинг.
а)

б) бўлгани учун

Демак P{0<х<1}= бўлади.
4–мисол. Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг интеграл функцияси қуйидагича:



f(х) дифференциал функцияни топинг.
Дифференциал функция интеграл функциядан олинган биринчи тартибли ҳосилага тенг:

яъни (0, ) интервалда f(х)=2сос2х, бу интервалдан ташқарида f(х)=0.
5–мисол. Узлуксиз тасодифий миқдорнинг дифференциал функцияси қуйидагича:
(0, ) интервалда (>0) кўринишда берилган. Бу интервалдан ташқарида f(х)=0. Х нинг (1, 2) интервалга тегишли қиймат қабул қилиш эҳтимолини топинг.
Ушбу Р{а<хформуладан фойдаланамиз. Шартга кўра а=1; b=2; . Демак изланаётган эҳтимол

бўлади.
6–мисол. Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг дифференциал функцияси ушбу

кўринишда, унинг Ғ(х) интеграл функциясини топинг.

Ушбу
формуладан фойдаланамиз. Агар х<0 бўлса, ф(х)=0,
демак F(х)=0. Агар бўлса,

Агар бўлса,

бўлади. Шундай қилиб,



бўлади.
7–мисол. Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг дифференциал функцияси бутун Ох ўқда аниқланган бўлиб,

кўринишга эга. С ўзгармасни топинг.
Дифференциал функциянинг хоссаси
га асосан ёки

яъни
2С=1 дан С= бўлади.
8–мисол. Тасодифий миқдор Х нинг дифференциал функцияси [10; 12] интервалда f(х)= –5 орқали берилган.
Интервал ташқарисида f(х)=0. Унинг математик кутилиши, дисперсияси ва ўртача квадратик четланишини топинг.
Математик кутилиш формуласига кўра




Дисперсиясини формула орқали топамиз:

Ўртача квадратик четланиш

бўлади.
34. Дискрет тасодифий миқдор Х қуйидаги тақсимот қонунлари билан берилган:
1)
2)
3)
4)

уларнинг F(Х) интеграл функцияларини топиб, графикларини чизинг.

35. Х тасодифий миқдор қуйидаги интеграл функция билан берилган:

Синов натижасида миқдорнинг интервалда ётган қийматини қабул қилиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. .
36. Тасодифий миқдор Х нинг интеграл функцияси берилган:

Унинг [–1; 0] интервалда ётиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. 0,75.
37. Тасодифий миқдор Х нинг қуйидаги F(Х) интеграл функцияларига кўра
а) дифференциал функцияларини топинг;
б) математик кутилиши ва дисперсияларини топинг:
1)
2)
3)
4)
5)


38. Х тасодифий миқдорнинг дифференциал функцияси берилган:

Унинг математик кутилиши, дисперсиясини ва ўртача квадратик четланишини топинг, ҳамда [0,5; 1], [2; 2,5] интервалларининг қийматлар қабул қилиш эҳтимоллигини топинг.
Жавоб. М(Х)= ; Д(Х)= . = 0,94.
39. Қуйидаги дифференциал функциялар берилган. Уларнинг интеграл функцияларини топинг.
1)
2)
3)
4)


40. Х узлуксиз тасодифий миқдорнинг дифференциал функцияси
а) бутун Ох ўқда тенглик билан берилган,
б) f(х)=Csin2x тенглнк билан оралиқда берилган, бу оралиқдан ташқарида унинг қиймати нолга тенг. С параметрни топинг.
41. Х тасодифий миқдорнинг (–С, С) интервалда f(х)= дифференциал функцияси берилган. Бу интервалдан ташқарида f(х)=0. Х миқдорнинг математик кутилиши ва дисперсиясини топинг.
Жавоб. М(Х)=0.