Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

Z=Х+Y тасодифий миқдорнинг z_к=х_i+y_i қийматни қабул қилиш эҳтимоли мос равишда х_i ва у_i ни қабул қилиш эҳтимолларининг кўпайтмасига тенг. Масалан: P(z₃=–1+2)=P(х=–1 ва y=2)=P(х= –1)P(y=2)=0,20,3=0,06.

ёки


М(Х+Y) ни ҳисоблаймиз:
М(Х+Y)=–10,02+00,07+10,17+20,27+30,27+40,20=–0,02+0,17+0,54+ +0,81+0,80=2,3.
М(Х) ва М(Y) ларни алоҳида–алоҳида ҳисоблаймиз:
М(Х)=10,2+ 00,3+10,5= –0,2+0,5=0,3;
М(Y)=00,1+10,2+20,3+30,4=0,2+0,6+1,2=2
М(Х)+М(Y)=0,3 + 2 = 2,3.
Демак,
М(Х+Y)=М(Х)+М(Y) тенглик бажарилади.
Z=ХY нинг тақсимот қонунини тузамиз. Бунинг учун юқоридаги каби мулоҳаза юритамиз:
z₁= (–1) 0; z₂= (–1)1; z₃= (–1)2; z₄= (–1)3;
z₅= 00; z₆= 01; z₇=02; z₈=0  3;
z₉= 10; z₁₀= 11; z₁₁=12; z₁₂=13

Тақсимот қонуни қуйидагича ифодаланади:

Тасодифий миқдорлар кўпайтмасининг қабул қилган қийматларини умумлаштириб қуйидагини ҳосил қиламиз:

Энди математик кутилиш М(Z) ни ҳисоблаймиз: М(Z) = М(ХY)=(–3)0,08 +

+(–2) 0,06+(–1)0,04+10,10+20,15+30,20=
=–0,24–0,12–0,04+ 0,1+0,30+0,60=0,6;
демак, М(Z)= 0,6
Юқоридаги ҳисоблашлардан:
М(Х)М(Y)=0,32=0,6 ва М(ХY)=0,6.
Демак, М(ХY)=М(Х)М(Y) тенглик ўринлидир.
5–мисол. Дискрет тасодифий миқдорнинг қабул қилиши мумкин бўлган қийматлари х₁=1, х₂=2, х₃=3 ҳамда М(Х)=2,3; М(Х )=5,9 лар берилган. Х миқдор х₁, х₂ , х₃ қийматларни қандай эҳтимоллар билан қабул қилишини топинг.
Х қабул қилиши мумкин бўлган барча қийматларнинг эҳтимоллари йиғиндиси р₁+р₂+р₃=1. Энди М(Х) ва М(Х²) нинг таърифига асосан қуйидагига эгамиз:
М(Х)=х₁р₁ + х₂р₂ + х₃р₃ бу ердан
2,3=1р₁+ 2р₂+ 3р₃.
М(Х²)= бу ердан
5,9 = 1р₁+ 4р₂+ 9р₃.


р₁, р₂, р₃ ларга нисбатан уч номаълумли учта теиглама системасини ҳосил қиламиз:

Бу системани ечиб,

р₁=0,2; р₂ = 0,3; р₃ = 0,5
ларни топамиз.
6–мисол. Ҳар бир синовда А ҳодиса 0,7 эҳтимол билан рўй берса, 10 та эркли синовда бу ҳодисанинг рўй беришлар сонининг математик кутилишини топинг.
Масала шартига кўра ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р=0,7 га тенг, тажрибалар сони п=10. Рўй беришлар сонини Х десак, унинг математик кутилиши М(Х)=пр формулага асосан (II– боб, 2–§ даги 5–хосса) қуйидагича бўлади:
М(Х)=100,7=7. М(Х)=7.
Х тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунлари берилган. Унинг математик кутилиши, дисперсияси, ўрта квадратик четланишини топинг.


6.
Жавоб. М(Х)=16,8
Д(Х)=58,56
(Х)7,65

7.

Жавоб. М(Х)=34,7
Д(Х)=227,79
(Х)15,09
8.
Жавоб. М(Х)=14,93
Д(Х)=10,32
(Х)3,21
9.
Жавоб. М(Х)=20,6
Д(Х)=31,64
(Х)5,63
10.
Жавоб. М(Х)=15,36
Д(Х)=4,25
(Х)2,06
11.
Жавоб. М(Х)=14,45
Д(Х)=3,58
(Х)1,89
12.
Жавоб. М(Х)=6,20
Д(Х)=1,49
(Х)1,22
13.
Жавоб. М(Х)=2,84
Д(Х)=1,55
(Х)1,25


14. Иккита тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунлари берилган:






Х+Y йиғиндининг тақсимот қонунини тузинг. Х, Y ва Х+Y миқдорларнинг дисперсиясини топинг.
Жавоб. Д(Х) = 25,55; Д(Y) = 58,36; Д(Х+Y)=83,91.
15. Х ва Y тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонуни берилган:



Х–Y айирманинг тақсимот қонунини тузинг. Д(Х); Д(Y); Д(Х–Y) ларни топинг.
Жавоб. Д(Х)=61; Д(Y)=0,96; Д(Х–Y)=61,96.


16. Х ва Y тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонуни берилган:



нинг тақсимот қонунини тузинг ҳамда Д(Х); Д(Y); Д( ) ларни топинг.
Жавоб. Д(Х)=10,44; Д(Y)=3,24; Д( )=3,42.
17. Группада лотерея ўйини ташкил этилди. Биринчиси 20 сўм, иккинчиси 30 сўм бўлган иккита ютуқ тайинланди. Студент ҳар донаси 1 сўмдан бўлган 50 та билетдан биттасиии сотиб олди. Студентга чиқадиган соф ютуқнинг тақсимот қонунини тузинг ва унинг математик кутилишини топинг.
Жавоб.


18. Мураккаб асбобларни текшириш натижасида ўртача 50 та асбобдан 10 таси нуқсонли экани аниқланди. Таваккалига олинган 6 та асбобдан нуқсонсиз бўлганлри сонининг тақсимот қонунини тузинг. Унинг математик кутилиши, дисперсиясини топинг.
Жавоб.
Кўрсатма. Р_п (к) ни Бернулли формуласи ёрдамида топинг.


19. Нишонга қарата ўқ узилди. Ўқнинг нишонга тегиш эҳтимоли 1/3. Нишонга тегиш сонининг дисперсиясини топинг.
Жавоб.Д(Х)=2/9
20. Факультет студентларининг фанларни ўзлаштириш кўрсаткичи 90%. Таваккалига 40 та студент ажратилди. Шулар орасида фанларни ўзлаштирувчи студентлар сонининг математик кутилиши ва дисперсиясини топинг.
Жавоб. М(Х)=36, Д(Х)=3,6.
21. п та ўйин соққаси ташланади. Ҳамма ёқларда чиқадиган очколар йиғиндисининг математик кутилишини топинг.
Жавоб. М(Х)=
Кўрсатма. Х=Х₁+Х₂+...+Х_n – барча ёқларда чиқадиган очколар йиғиндиси. М(Х₁)=М(Х₂) = . . . =М(Х_п) эканлигидан фойдаланинг.
22. Пуассон қонуни бўйича тақсимланган Х тасодифий миқдорнинг математик, кутилишини ва дисперсиясини топинг.
Жавоб. М(Х)=. Д(Х)=
Кўрсатма. М(Х)= эканлигидан фойдаланинг.
23. А ҳодисанинг ҳар бир синовда рўй бериш эҳтимоли 0,4 га тенг. Х дискрет тасодифий миқдор –А ҳодисанинг 10 та эркли синовда рўй бериш сонининг дисперсиясини топинг.
Жавоб. Д(Х)=2,4.