1-ma’ruza: Gamma va Beta funktsiyalar va ularning xossalari, ular orasidagi bog`lanish. Reja

1-ma’ruza: Gamma va Beta funktsiyalar va ularning xossalari, ular orasidagi bog`lanish.
Reja:
1. Beta funksiya haqida tushunchalar.
2. Beta funksiya xossalari.
3. Gamma funksiya haqida tushunchalar.
4. Gamma funksiya xossalari.
5. Beta va gamma funksiyalar orasidagi bog`lanishlar.
6. Natijalar.
1.Betta funksiya haqida.
Ma`lumki, ushbu

xosmas integralni qaradik.
Integral ostidagi funksiya uchun

1. 
   bo’lganda maxsus nuqta.
   
2. 
   bo’lganda maxsus nuqta.
   
3. 
   bo’lganda va nuqtalar maxsus nuqtalar bo’ladi.
   

Binobarin chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali

to`plamda yaqinlashuvchi. Ayni payitda bu integral va parametrlarga ham bog`liq.
Ta`rif. integral beta funksiya yoki I tur Eyler integrali deb ataladi va B( ,) kabi belgilanadi, demak:

Shunday qilib, funksiya fazodagi

to`plamda berilgandir. Endi funksiyaning xossalarini o`rganaylik.
2.Beta funksiya xossalari.
. integral
B( ,)=
ixtiyoriy
to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. Berilgan integralni tekis yaqinlashuvchilikka tekshirish uchun uni quyidagicha.

yozib olamiz.
Ravshanki, bo`lganda integral yaqinlashuvchi, bo`lganda

integral yaqinlashuvchi.
Parameter ning qiymatlari va uchun

bo’ladi. Veyeshtrass alomatidan foydalanib

integralning tekis yaqinlashuvchiligini toping.
Shunungdek, parametr b ning qiymatlari va
uchun

bo’ladi va yana Veyeshtrass alomatiga ko’ra

integralning tekis yaqilashuvchiligi kelib chiqadi.
Demak, integral va bo’ladi, ya’ni

to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Eslatma. ning

to’plamda notekis yaqinlashuvchiligini ko’rish qiyin emas.
2 . funksiya

to’plamda uzluksiz funksiyadir.
Xaqiqatan ham,

Integral ichini to’lamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishidan va integral ostidagi
funksiyaning da uzluksizligidan funksiya

to’plamda uzluksiz bo’ladi.
uchun bo’ladi. Darhaqiqat

integralda almashtirish bajarilsa, unda

bo’lishini topamiz.
funksiya quyidagicha ham ifodalanadi:

Haqiqatan ham, integralda almashtirish bajarilsa, u holda



bo’ladi.
Xususan, bo’lganda

bo’ladi, munosabatdan quyidagini topamiz:

uchun

bo’ladi.

integralni bo’laklab integrallaymiz:



Agar


ekanligini etiborga olsak, u holda

)