20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Пусть задано скалярное поле функции ,
Поверхностью уровня данного скалярного поля называется поверхность, задаваемая уравнением
Скалярное поле может задаваться не только в пространстве, но и в области на плоскости. Линией уровня плоского скалярного поля называется кривая, находящаяся в области задания скалярной функции и задаваемая уравнением
Градиентом скалярного поля , , называется вектор-функция, заданная на A, и равная
С помощью градиента определяют производную функции по направлению. Если – единичный вектор направления, то Как известно, наибольшее изменение в фиксированной точке функция претерпевает в направлении градиента в этой точке.
Производная по направлению.
Производной функции двух переменных по направлению называется выражение
Производной функции трех переменных по направлению называется выражение
21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.
Рассмотрим поле вектора ,
Векторной линией данного векторного поля называется линия, касательная к которой в любой точке параллельна вектору поля, определенному в этой точке. Выведем систему уравнений, связывающих дифференциалы векторных линий. Согласно определению вектор параллелен вектору . Следовательно, справедливы соотношения
, которые называются дифференциальными уравнениями векторных линий в пространстве.
Дивергенцией данного векторного поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами является скалярная величина
Циркуляцией вектора , , вдоль некоторой замкнутой ориентированной кривой C , находящейся внутри множества А, назовем следующий криволинейный интеграл второго рода:
Ротором вектора поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами назовем следующую векторную величину:
Здесь «умножение» элементов второй строки на элементы третьей строки означает, что от функции из третьей строки берется соответствующая производная.
Ротор иногда называют вихрем, он характеризует вращение поля в данной точке.
Do'stlaringiz bilan baham: |
