4-mavzu. Bo’liqmas tajribalar ketma-ketligi. Laplasning lokal va integral teoremalari. Reja

4-mavzu. Bo’liqmas tajribalar ketma-ketligi. Laplasning lokal va integral teoremalari.
Reja:

1. 
   Bog’liqmas tajribalar ketma-ketligi.
   
2. 
   Bernulli formulasi.
   
3. 
   Muvaffaqiyatlarning eng ehtimolli soni.
   
4. 
   Laplasning lokal teoremasi.
   
5. 
   Laplasning integral teoremasi.
   
6. 
   Nisbiy chastotaning o’zgarmas ehtimollikdan chetlanishining ehtimolligi.
   

Tayanch iboralar: Erkli tajribalar ketma-ketligi, Bernulli sxemasi, Bernulli formulasi, muvaffaqiyatlarning eng ehtimolli soni, Laplas-ning lokal teoremasi, p ta erkli tajribada A hodisaning roppa-ro-sa k marta ro’y berish ehtimolligi, Laplasning integral teore-masi, p ta erkli tajribada A hodisaning dan martagacha ro’y berishi ehtimolligi, Laplas funktsiyasi, nisbiy chastotaning o’z-garmas ehtimollikdan chetlanishining ehtimolligi.
Har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat) ham, ro’y bermasligi (muvaffaqiyatsizlik) ham mumkin bo’lgan n ta bog’-liqmas tajribalar amalga oshirilsin. A hodisaning har bir tajribadagi ehtimolligini bir xil, ya’ni r ga teng deb hisob-laymiz. Demak, A hodisa ro’y bermasligining ehtimolligi ham har bir tajribada doimiy va q=1–p ga teng. Tajribalarning bunday ketma-ketligi Bernulli sxemasi deb ataladi.
Bunday tajribalarga misol sifatida, masalan, texnologik va tashkiliy shart-sharoitlarning doimiyligi holatida ma’lum bir uskunalarda mahsulotlarni ishlab chiqarishni qarash mum-kin, bu holda yaroqli mahsulotni tayyorlash — muvaffaqiyat, yaroqsizini tayyorlash — muvaffaqiyatsizlik. Agar biror mahsu-lotni tayyorlash jarayoni avvalgi mahsulotlarning yaroqli yoki yaroqsiz ekanligiga bog’liq emas deb hisoblansa, bu vaziyat Bernulli sxemasiga mos keladi.
Boshqa misol sifatida nishonga qarata o’q uzishni olish mumkin. Bu yerda o’qning nishonga tegishi — muvaffaqiyat, ni-shonga tegmasligi — muvaffaqiyatsizlik.
n ta tajribada A hodisa roppa-rosa k marta ro’y berishi va demak, n—k marta ro’y bermasligi, ya’ni k ta muvaffaqiyat va n—k ta muvaffaqiyatsizlik bo’lishining ehtimolligini hisoblash masalasi qo’yilgan bo’lsin.
Qidirilayotgan ehtimollikni orqali belgilaymiz. Masalan, yozuvi beshta tajribada hodisa roppa-rosa 3 mar-ta ro’y berishi va demak, 2 marta ro’y bermasligining ehtimol-ligini bildiradi.
p ta bog’liqmas tajribalar ketma-ketligini p ta bog’liqmas hodisalar ko’paytmasidan iborat bo’lgan murakkab hodisa deb qarash mum-kin. Demak, p ta tajribada A hodisa k marta ro’y berishi va n—k marta ro’y bermasligining ehtimolligi bog’liqmas hodisalarning eh-timolliklarini ko’paytirish haqidagi 3.3-teoremaga asosan ga teng. Bunday murakkab hodisalar p ta elementdan k ta-dan nechta gruppalash tuzish mumkin bo’lsa, shuncha, ya’ni ta bo’-ladi.
Bu murakkab hodisalar birgalikda bo’lmagani uchun birga-likda bo’lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo’shish haqi-dagi 3.1-teoremaga asosan izlanayotgan ehtimollik mumkin bo’l-gan barcha murakkab hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng. Bu murakkab hodisalarning ehtimolliklari bir xil bo’lga-ni uchun izlanayotgan ehtimollik (p ta tajribada A hodisaning k marta ro’y berish ehtimolligi) bitta murakkab hodisaning ehti-molligini ularning soniga ko’paytirilganiga teng

yoki
(4.1)
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deb ataladi.