6-7-§. Variaciya esabınıń ápiwayı máselesiniń ulıwmalastırılıwı Joqarı tártipli tuwındılardan ǵárezli bolǵan funkcionallar

6-7-§. Variaciya esabınıń ápiwayı máselesiniń ulıwmalastırılıwı


Joqarı tártipli tuwındılardan ǵárezli bolǵan funkcionallar. Meyli mına funkcional berilgen bolsın:
. (5.1)
bunda - barlıq argumentleri boyınsha ret differenciallanatuǵın funkciya, dep uyǵarıladı hám (1) funkcionalına mına shegaralıq shártler qoyıladı:
(5.2)
Bul (1) funkcionalınıń (2) shegaralıq shártlerindegi ekstremalları mına Eyler – Puasson teńlemesınıń integrallıq iymeklikleri boladı:
(5.3)
Egerde berilgen funkcional
(5.4)
kórinisine iye bolsa, onda bul funkcionalǵa sáykes Eyler – Puasson teńlemesi tómendegishe jazıladı:
(5.5)
Bunı qálegen sandaǵı funkciyalardan ǵárezli bolǵan funkcionallar ushın ańsat ulıwmalastırıwǵa boladı.
Eyler – Puasson teńlemesınıń tártibin tómenletiwdıń geypara dara jaǵdayları.
a) Egerde (1) funkcionalı tan ǵárezli bolmasa, onda boladı hám Eyler – Puasson teńlemesi mına kóriniske iye boladı:

Bunı integrallap, mına nátiyjege kelemız:
(5.6)
b) Egerde tan ǵárezli bolmasa, onda tiń funkciyası dep esaplap, berilgen funkcionaldı aldın ala

kórinisine keltiriwge boladı. Sonlıqtan, bul jaǵdayda Eyler – Puasson teńlemesi tómendegishe jazıladı:
(5.7)
2. funkciyalardan ǵárezli bolǵan funkcionallar. Endi funkciyalarınan ǵárezli bolǵan mına funkcionaldı qaraymız:
(5.8)
Bul funkcional mına shegaralıq shártlerde qaraladı:
(5.9)
Sonda (8), (9) variaciyalıq máselesınıń ekstremalları Eylerdıń ekinshi tártipli differenciallıq teńlemeleriniń mına sistemasınıń sheshimi esabında anıqlanadı:
(5.10)
Dara jaǵdayda, egerde funkcional tek eki hám funkciyalarınan ǵárezli bolsa, yaǵnıy
(5.11)
kórinisinde berilgen bolsa, onda bul funkcionalǵa sáykes Eyler teńlemeleriniń sisteması tómendegishe jazıladı:
(5.12)
3. Bir neshe ǵárezsiz ózgeriwshilerdıń funkciyalarına ǵárezli bolǵan funkcionallar. eki hám argumentlerinen ǵárezli bolǵan funkciyalardıń bunday funkcionalı ulıwma túrde tómendegishe jazıladı:
(5.13)
Bunda - óziniń barlıq argumentleri boyınsha eki ret differenciallanatuǵın funkciya dep uyǵarıladı. Sonda oblastında óziniń ekinshi tártipli tuwındıları menen úzliksiz bolǵan, oblastınıń shegarasında berilgen mánislerdi qabıl etetuǵın hám (13) funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın, funkciyasın tabıw talap etiledi.
Egerde betinde (13) funkcionalı ekstremumǵa erisse, onda funkciyası Eyler – Ostragordskiydıń mına teńlemesin qanaatlandıradı:
(5.14)
Bunda hám - funkciyasınıń hám boyınsha sáykes tolıq dara tuwındıları:
, (5.15)
(5.16)
Bul jerde qolaylılıq ushın belgilewleri kirgizilgen.
Bundaǵı (14) teńlemesi (13) funkcionalınıń ekstremumǵa iye bolıwınıń zárúrli shárti boladı. ol ekinshi tártipli dara tuwındılı teńleme boladı. Bul teńlemeniń oblastınıń shegarasında berilgen mánislerdi qabıl etetuǵın sheshimi izlenedi.
Ulıwma jaǵdayda ózgeriwshili funkciyasınan ǵárezli bolǵan
(5.17)
funkcionalı ushın Eyler – Ostrogradskiy teńlemesi tómendegishe jazıladı:
. (5.18)
Solay etip, (17) funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın funkciyası (18) teńlemesin hám ólshemli oblastınıń shegarasında berilgen shegaralıq shártlerdi qanaatlandırıwı kerek.
Egerde funkcionalında integral astındaǵı funkciya funkciyasınıń joqarı tártipli tuwındılarınan da ǵárezli bolsa, onda bul jaǵday ushında Eyler – Ostrogradskiydiń sáykes teńlemesin jazıwǵa boladı. Máselen,
(5.19)
funkcionalı ushın Eyler – Ostrogradskiiydiń teńlemesi tómendegishe jazıladı:
. (5.20)
Bunda

belgilewleri kirgizilgen.
Solay etip, tórtinshi tártipli dara tuwındılı (20) teńlemesin qanaatlandıratuǵın funkciyalardıń arasınan (19) funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın funkciya izlenedi. Máselen,
(5.21)
funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın funkciyası mına bigarmonikalıq teńlemeni qanaatlandırıwı kerek:

Bul teńlemeni qısqasha yamasa kórinisinde jazadı.