Движение вокруг фиксированной точки. Углы Эйлера. Аксоиды

Движение вокруг фиксированной точки. Углы Эйлера. Аксоиды.
Примеры таких тел показаны на рис. 1.20: волчок с шарнирно закрепленным острием (а), конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы - начала систем XYZ и x₀y₀z₀, введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:

(1.22)

Для твердого уела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках. Для нас важно следствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Естественно, что положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени в общем случае меняется.

Рис. 1.20.

Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно неподвижное системы XYZ (или x₀y₀z₀) - это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно подвяжись системы xyz, жестко связанной с твердым телом, - это тоже коническая поверхность - подвижный аксоид. Например, в случае конуса AO₁, катящегося по поверхности другого конуса AO₂ без проскальзывания (рис. 1.21; точка А подвижного конуса шарнирно закреплена) неподвижный аксоид совпадает с поверхностью неподвижного конуса AO₂, а подвижный аксоид - с поверхностью подвижного конуса AO₁.