Контрольные задания №1 Разложите в ряд Маклорена функцию: 2

Контрольные задания №1
Разложите в ряд Маклорена функцию:
2 вариант

Решение:
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
- она имеет производные всех порядков;
- построенный ряд сходится в этой точке.
При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

Разложить в степенной ряд функцию

Используем стандартное разложение элементарной функции f(x)=sin(x)

Подставим вместо x выражение:
Получим:



Контрольные вопросы:

1. 
   Дайте определение ряда Маклорена.
   

Ряд Маклорена - cтепенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f (x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

2. 
   Приведите формулу общего вида ряда.
   

Контрольные задания №2-3
№2. Решить задачи, используя определение сочетаний, их видов:
2 вариант
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?
Решение:
Если считать, что первое число может быть 0, то количество чисел 120.
5!=5 * 4 * 3 * 2 * 1=120

Из этого числа вычитаем количество чисел "начинающихся" на 0:

4!= 4 * 3 * 2 * 1 = 24
120 - 24 = 96.
Ответ : 96.

№3. Решить задачи, формулы сложения вероятностей:

2 вариант
Группа туристов, состоящая из 12 юношей и 8 девушек, выбирает по жребию дежурную команду в составе 4 человек. Какова вероятность того, что в числе избранных окажется двое юношей и две девушки?
Общее число исходов при выборе четырёх дежурных равно числу сочетаний из 20 по 4:
Решение:
n = C (20,4) = 20! / (4! · (20 - 4) !) = 17 · 18 · 19 · 20 / (1 · 2 · 3 · 4) = 4845.
Количество способов выбрать 2 девушек из 8:
C (8,2) = 8! / (2! · (8 - 2) !) = 7 · 8 / (1 · 2) = 28.
Количество способов выбрать 2 юношей из 12:
C (12,2) = 12! / (2! · (12 - 2) !) = 11 · 12 / (1 · 2) = 66.
Количество благоприятных исходов, когда выбраны 2 девушки:
m = C (8,2) · C (12,2) = 28 · 66;
Вероятность того, что среди дежурных окажутся 2 девушки:
P = m/n = 28 · 66 / 4845 = 0,38142.
Ответ: 0,38142.